Pimenov_V_Yu__Volman_V_I__Muravtsov_A_D_Tekhni

поверхности.

Задача формулируется следующим образом. Пусть источники сосредоточены в ограниченной области V. Характер источников и их расположение неизвестны, но зато известны значения векторов Ё и Н на внешней по отношению к источникам стороне поверхности S, ограничивающей объем V.

Поверхность S может быть как действительной поверхностью раздела различных сред, так и воображаемой, важно только, что на ней задано поле Ё,Н. Требуется найти поле вне области V. В

силу теоремы единственности задача имеет единственное решение.

Среду, расположенную с внешней стороны поверхности S, будем называть первой средой, а внутри

S- второй. Они характеризуются параметрами соответственно. Поля обозначаются аналогично: в

первой среде-Ё 1Н1, во второй-

Е2,Н2.

Предположим, что на S отсутствуют поверхностные токи и заряды. Тогда на S должны выполняться следующие условия:

поверхности S.

Для решения задачи применим искусственный прием. Предположим, что поле в облачи V

отсутствует. Это заведомо неверное предположение. Однако если значения касательных составляющих векторов Ё и Н на внешней по отношению к V стороне поверхности S останутся прежними, то полученное с помощью такого предположения решение будет правильным вне области

V. Так как при сделанном предположении , то при прежних значениях не будут выполняться граничные условия (5.24)-(5.27). Для того чтобы на поверхности S векторы остались прежними и в то же время удовлетворяли граничным условиям, предположим, что на S распределены дополнительные источники (поверхностные заряды и токи), компенсирующие образовавшиеся разрывы составляющих векторов Ё и Н. Рассмотрим вначале нормальную компоненту вектора Ё.

Если на S имеются

поверхностные электрические заряды с плотностью psskb. to вместо условия (5.24) должно выполняться условие, аналогичное (1.86): . Так как по предположению , то искомая плотность эквивалентных поверхностных зарядов Аналогично компенсируется разрыв касательной составляющей вектора Н. При наличии

поверхностных электрических токов с плотностью js экв на S вместо условия (5.27) должно выполняться условие, подобное (1.98): Полагая в этом соотношении , получаем Разрывы касательной составляющей вектора Ё и нормальной составляющей вектора В = μН можно

компенсировать, введя эквивалентные поверхностные магнитные токи и заряды с плотностями соответственно. При этом соотношения (5.25) и (5.26) следует заменить условиями, подобными

(1.98) и (1.86) соответственно. Учитывая, что поле Ё2,Н2 считается равным нулю, приходим к равенствам Подчеркнем еще раз: предполагается, что в природе нет свободных магнитных зарядов и токов. Их

вводят формально для упрощения анализа. В рассматриваемом случае на S вообще может не быть источников, при этом фиктивными будут не только магнитные, но и электрические токи и заряды.

Они были введены лишь для того, чтобы при произвольно сделанном предположении об отсутствии поля в области V, где находятся реальные источники, на внешней стороне поверхности S

сохранились прежние

значения векторов Ё и Н. При этом в силу теоремы единственности поле в рассматриваемой области не изменится. В тех случаях, когда поверхность S совпадает (полностью или частично) с

поверхностью идеального проводника, формулы (5.29) и (5.28) определяют на S (или на части поверхности S) реальные токи и заряды.

Электрические и магнитные поверхностные заряды и токи, определяемые соотношениями (5.28)- (5.31), называют эквивалентными источниками электромагнитного поля, а возможность перехода от значений векторов Е и Н на поверхности S к эквивалентным источникам-принципом эквивалентности (теоремой эквивалентности).

Зная распределение эквивалентных источников, можно найти создаваемое ими электромагнитное поле, например, с помощью векторных электродинамических потенциалов которые были рассмотрены в 2.4. Векторный потенциал Аm в данном случае определяется выражением (2.61), в

котором нужно только заменить Магнитный векторный потенциал вычисляется по аналогичной формуле, вытекающей из (2.61) и перестановочной двойственности уравнений Максвелла:

где N и М-точки наблюдения и интегрирования соответственно, а R - расстояние от точки М до N.

Поле, созданное эквивалентными источниками, выражается через векторные потенциалы формулами

(2.70).

Плотности эквивалентных поверхностных токов и зарядов связаны между собой уравнениями непрерывности, которые в случае монохроматического поля имеют вид: Следовательно, искомое электромагнитное поле однозначно определяется электрическими и магнитными токами, т.е. одними касательными составляющими векторов

Ё и Н на поверхности S. Напомним, что для единственности решения рассматриваемой задачи

(см.2.2) достаточно задать на поверхности S либо Ёτ, либо Нτ. Поэтому одновременное произвольное задание и недопустимо.

5.8. ЭЛЕМЕНТ ГЮЙГЕНСА

5.8.1. Принцип Гюйгенса Гюйгенсом было сформулировано предположение, согласно которому каждая точка фронта волны,

созданной каким-либо первичным источником, является вторичным источником сферической волны.

Это предположение называют принципом Гюйгенса.

Под фронтом волны обычно понимают поверхность, отделяющую область, в которой в данный момент времени уже имеют место электромагнитные колебания, от области, в которую волна еще не успела распространиться. При описании распространяющихся монохроматических электромагнитных волн часто вместо термина поверхность равных фаз используют термин фронт волны, что, строго говоря, не совсем корректно.

Пусть известна поверхность Si (рис. 5.24), на которой фаза функции, характеризующей волну, в

момент t=t0 равна некоторому значению ψ0. В следующий момент времени t = t0 + ∆t поверхность,

соответствующая значению фазы ψ0., уже не будет совпадать с S1. Для определения этой новой поверхности согласно принципу Гюйгенса нужно каждую точку поверхности S1 принять за центр сферы радиуса r0 = c∆t, где с-скорость распространения волны. Тогда поверхность S2 (рис. 5.24),

огибающая семейство построенных таким образом сфер, проведенная-с учетом направления распространения волны, будет искомой поверхностью, на которой фаза в момент t = to + +At равна

ψ0.

Принцип Гюйгенса справедлив для любых волновых процессов и позволяет проследить за перемещением фронта волны или поверхности равных фаз, начиная с момента времени, в который являются известными фронт волны, или соответственно ПРФ. Математическая формулировка принципа Гюйгенса впервые была дана Кирхгофом. Поэтому указанный принцип обычно называют принципом Гюйгенса-Кирхгофа.

Принцип Гюйгенса-Кирхгофа позволяет находить поле и в том случае, когда поверхность,

окружающая источники, не совпадает с поверхностью равных фаз. При этом, конечно, необходимо учитывать распределение фаз эквивалентных источников.

Принцип Гюйгенса-Кирхгофа широко применяется при расчете диаграмм направленности различных излучающих систем СВЧ диапазона. Основные типы антенн этого диапазона: щелевые,

рупорные и зеркальные (схематически изображенные на рис. 5.25, а,б,в соответственно) можно представить в виде замкнутой поверхности; одна часть которой (So) является металлической, а

другая (SΣ) представляет собой поверхность раскрыва (через нее электромагнитная энергия излучается в окружающее пространство)., Поле йа SΣ обычно известно с той или иной степенью точности, и его можно заменить распределением эквивалентных источников. Поверхности So можно считать идеально проводящей, тогда , что соответствует отсутствию магнитных токов . Кроме того,

при приближенных расчетах часто пренебрегают затеканием электрических токов на внешнюю поверхность антенны, т.е. предполагают, что на поверхности S0 отсутствуют

также электрические токи В таком приближении поле в дальней зоне определяется только эквивалентными поверхностными

электрическими и магнитными токами или, что то же самое, касательными составляющими векторов, Ё и Н на поверхности SΣ.

При вычислении поля можно воспользоваться принципом суперпозиции: разбить поверхность SΣ на элементарные площадки ∆S, найти поле, создаваемое эквивалентными токами каждой площадки, а

затем просуммировать полученные результаты. 5.8.2. Поле элемента Гюйгенса

Практически элемент Гюйгенса можно представить как элемент фронта (или ПРФ)

распространяющейся волны. Магнитное поле, действующее на этом элементе,

можно заменить эквивалентным электрическим током, а электрическое поле-эквивалентным магнитным током. Таким образом, элемент Гюйгенса можно рассматривать как элементарный излучатель, обтекаемый электрическими и магнитными токами. Определим его направленные свойства.

Так как векторы Е и Н свободно распространяющейся волны взаимно перпендикулярны, то эквивалентные им электрические и магнитные токи также будут взаимно перпендикулярны.

Расположим прямоугольный элемент Гюйгенса (плоскую прямоугольную площадку ∆S = l1l 2) в

плоскости ХОΥ так, чтобы начало координат совпадало с его центром. Ориентация касательных составляющих векторов Е и Н на площадке ∆S, соответствующая некоторому моменту времени t0,

показана на рис. 5.26, а ориентация электрических и магнитных токов, эквивалентных этим составляющим, в тот же момент времени t0 - на рис. 5.27.

Полагая , получаем, что комплекс-

ные амплитуды эквивалентных электрического и магнитного

токов, текущих по ∆S, равны

Поле, создаваемое элементом Гюйгенса, равно сумме полей, создаваемых расположенными перпендикулярно друг другу элементарным электрическим вибратором длиной l2 с током i3т и элементарным магнитным вибратором длиной l1 с током . Вычислим поле элемента Гюйгенса в дальней зоне. Рассмотрим, например, плоскость YOZ (плоскость E). Комплексная амплитуда напряженности электрического поля, создаваемого ЭЭВ, в системе координат, полярная ось которой совпадает с осью У, определяется выражением

где θ1° - координатный орт угла θ1отсчитываемого от оси Υ (рис. 5.28). Соответственно комплексная амплитуда напряженности электрического поля, создаваемого элементарным магнитным вибратором, в рассматриваемой плоскости в системе координат, полярная ось которой совпадает с осью X, равна

где φ20 - координатный орт угла φ2, отсчитываемого от плоскости XOY (рис. 5.29). В верхней части рассматриваемой плоскости (при z > 0) орты θ1° и φ20 совпадают, а в нижней (при z < 0) –то в направлены противоположно. Если можно считать, что то в направлении оси Z вектор напряженности полного электрического поля а в противоположном направлении (при φ2 = Зπ/2) Ёт = 0. Вдоль оси Υ (т.е. при φ2 = 0 и φ2 = π) ЭЭВ не излучает, и Ёт = Ё2т. При сделанном предположении диаграмма направленности элемента Гюйгенса в рассматриваемой плоскости (х = 0) имеет вид кардиоиды (рис. 5.30). Обычно поле элемента Гюйгенса записывают в системе координат r, θ, φ,

показанной на рис. 5.26. Переходя в формулах (5.33) и (5.34) от единичных векторов к орту θ0 и от угла θ1 к углу 0 (см. рис. 5.28 и 5.29), получаем следующее выражение для вектора Ёт = Ё1т + Ё2т в плоскости х = 0:

где знак «-» соответствует положительным значениям координаты Υ а знак «+»- отрицательным.

Нетрудно показать, что в произвольном направлении, характеризуемом координатами θи φ,

комплексная амплитуда напряженности Электрического поля, создаваемого элементом Гюйгенса,

имеет две составляющие:

Из формул (5.36) видно, что при выполнении условия диаграмма направленности элемента Гюйгенса одинакова во всех плоскостях, проходящих через ось Z, и имеет вид кардиоиды (см. рис. 5.30).

Пространственная диаграмма направленности элемента Гюйгенса представляет собой поверхность,

образующуюся при вращении кардиоиды вокруг ее оси симметрии (оси Z). Из диаграммы направленности видно, что излучение максимально в направлением оси Z, перпендикулярной к площадке ∆S.

Вектор напряженности магнитного поля, создаваемого элементом Гюйгенса, в дальней зоне при любых значениях углов θ и φ можно найти по формуле где г0-орт радиуса-вектора, проведенного из середины элемента Гюйгенса в точку наблюдения. Переходя к составляющим Нθт и Hφm, получаем

5.9. Лемма Лоренца. Теорема взаимности Пусть в линейной изотропной среде имеются две независимые группы источников, одна из которых

характеризуется сторонними электрическими токами с плотностью а вторая - токами с Равенство (5.44) называют леммой Лоренца.

На основе леммы Лоренца доказывается теорема взаимности, имеющая фундаментальное значение.

Предположим, что источники первой группы сосредоточены в конечном объеме V1 а источники второй группы -в конечном объеме V2. Области Vi и V2 пространственно разделены (не

пересекаются друг с другом).

Интегрируя равенство (5.44) по произвольной области V, включающей в себя V1 и V2 (рис. 5.31), и

применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем где S - поверхность, ограничивающая объем V.

Соотношение (5.45) является интегральной формулировкой леммы Лоренца.

Распространим интегрирование в уравнении (5.45) на все пространство. При этом поверхность S

уйдет в бесконечность. Не нарушая общностисти рассуждений, можно считать, что амплитуды векторов Ё1Н1, Ё2 и Н2 убывают с увеличением расстояния от источников быстрее, чем 1/r (см.

теорему единственности, доказанную в 2.2). Тогда при r→∞ левая часть уравнения (5.45) обратится в нуль. Учитывая, кроме того, что по предположению вектор плотности сторонних токов отличен от нуля только в объеме Vb а вектор -только в объеме V2, получаем

В полученном выражении Ё1, - вектор напряженности электрического поля, создаваемого в точках объема V2 токами распределенными в объеме V1 a E2напряженность электрического поля,

создаваемого в точках объема V1 токами, протекающими в объеме V2.

Соотношение (5.46) является одной из наиболее общих математических формулировок теоремы взаимности.

Выясним некоторые следствия, вытекающие из этой теоремы. Предположим, что объемы V1 и V2 и

распределение токов в них совершенно одинаковы. Из равенства (5.44) следует, что в этом случае векторы Ё1 и Ё2 также будут одинаковыми. Например, пусть имеются две одинаковые антенны 1 и 2

с одинаковым, распределением токов. Тогда вне зависимости от того, является ли разделяющее антенны пространство однородным или неоднородным, можно утверждать, что антенна 1 создает у антенны 2 такое же поле, какое антенна 2 создает у антенны 1.

На основе теоремы взаимности можно также доказать, что диаграмма направленности приемной антенны имеет такую же форму, какую она имела бы, если бы антенна работала в качестве передающей. Применение теоремы взаимности в ряде случаев позволяет существенно упростить решение электродинамических задач.

При доказательстве теоремы взаимности предполагалось, что среда, заполняющая рассматриваемое пространство, является линейной и изотропной. Предположим теперь, что среда, оставаясь линейной, является анизотропной. В этом случае параметры ε и μ (оба или по крайней мере один из них) будут тензорами.

Тогда вместо уравнения (5.44) получаем Глава 6

ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ

6.1. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

6.1.1. Переход от сферической волны к плоской Рассмотрим еще раз электромагнитное поле, создаваемое ЭЭВ в дальней зоне в безграничной

однородной изотропной среде без потерь. Предположим, что векторы Е и Н требуется знать только в области V, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до источника (r0). Введем дёкартову систему координат х, у, z, ось Z которой проведена .вдоль радиуса-вектора, соединяющего середину вибратора Q с точкой О, принятой за начало координат (рис.6.1). В пределах области V можно

пренебречь изменением амплитуд векторов Ёт и Нт -и, кроме того, считать, что их фазы зависят только от координаты z, т.е. считать, что sin θ/r= = const, a exp(-ikr)=exp[-ik(ro+z)]. Вводя обозначение (2λr0) =E0 перепишем формулы (5.20) в виде

В (6.1) учтено, что векторы Ёт и Нт перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны (оси Z). Ориентация векторов Ёт и Нт относительно осей X и У зависит от ориентации вибратора, создающего поле. В общем случае эти векторы могут иметь как х-ю, так и у-ю

составляющие, связанные соотношениями

Поверхности равных фаз (ПРФ) в данном случае определяются уравнением z = const, т.е.

представляют собой плоскости, перпендикулярные оси Z. Волну, ПРФ которой образуют семейство параллельных плоскостей, называют плоской волной. Таким образом, сферическую волну,

создаваемую ЭЭВ, в пределах области V можно рассматривать как плоскую волну.

Очевидно, аналогичный результат получится и в тех случаях, когда источником поля являются элементарный магнитный вибратор, элемент Гюйгенса, система таких излучателей и др. При этом в общем случае между составляющими вектора Ёо по осям X и У может иметь место фазовый сдвиг. 6.1.2. Свойства плоской волны в однородной изотропной среде Исследуем основные свойства плоской волны, распространяющейся в безграничной однородной

изотропной среде. Источники, создающие волну, находятся за пределами рассматриваемой области.

Поэтому векторы Ёт и Нт удовлетворяют однородным уравнениям Гельмгольца (2.33) и (2.34)

соответственно. Предположим, что поле не зависит от координат х и у. Тогда уравнения (2.33) и (2.34) принимают вид Рассматривая таким же образом фазу напряженности электрического поля волны 2), придем к

равенству ω∆t=-β∆z. В этом случае положительным ∆t соответствуют отрицательные значения ∆z, то есть волна 2) распространяется противоположно оси Z.

Предположим, что источник, создающий электромагнитное поле, расположен со стороны отрицательных значений z (рис. 6.1). Так как среда считается безграничной и однородной, в

рассматриваемой области пространства должна существовать только волна, распространяющаяся в положительном направлении оси Z. Поэтому в первом слагаемом в формуле (6.4) в соответствии с выбором вида множителя exp(-i kz) следует положить

В среде без потерь и формулы (6.13) переходят в (6.1).

При изменении удельной проводимости от нуля до бесконечности угол ψс увеличивается от нуля до

π/4, а модуль Zc убывает от до нуля. Как видно, наличие потерь приводит к уменьшению абсолютной, величины характеристического сопротивления, т.е. к увеличению | Н | при заданном значении | Е |. Это обусловлено тем, что величина Н определяется как током проводимости, так и током смещения. В среде без потерь существуют только токи смещения. В среде с потерями при тех же значениях Е и ε токи смещения остаются прежними, но к ним добавляются токи проводимости.

Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим сначала случай, когда вектор. Ёm имеет лишь одну составляющую, например, Ёхт. Тогда вектор Нт также будет иметь одну составляющую,

перпендикулярную Ет (в рассматриваемом примере Нут). Считая вектор Ёо вещественным

(Ё0=х0Е0) и переходя к мгновенным значениям векторов Е и Н из (6:13) получаем Из полученных формул видно, что поле плоской волны в однородной изотропной среде обладает следующими свойствами.

Волна является поперечной. Комплексные амплитуды (Ёт и Нт) векторов Е и Н всегда взаимно перпендикулярны, а в частном случае, когда вектор Ёо имеет одну составляющую (например, Ёо

=хоEо), взаимно перпендикулярны и их мгновенные значения. Более подробно вопрос о перпендикулярности мгновенных значений векторов Е и Н рассмотрен в 6.2. Поверхности равных фаз определяются уравнением z = const и представляют собой семейство плоскостей,

перпендикулярных оси Z. Амплитуды векторов Е и Н экспоненциально убывают вдоль оси Z.

Постоянную а называют коэффициентом ослабления. В среде без потерь α= 0 и

амплитуды векторов Е и Н не зависят от координат. При σ≠0 поверхности равных амплитуд (ПРА)

совпадают с ПРФ. Волны, обладающие таким свойством, как и волны, амплитуды векторов Е и Н которых не зависят от координат, называют однородными. При

σ≠0 между векторами Е и Н имеется фазовый сдвиг. Вектор Н опаздывает по фазе относительно вектора Е на угол В среде без потерь векторы Е и Н изменяются синфазно. При изменении а от нуля до бесконечности фазовый сдвиг возрастает от нуля до π/4. На рис. 6.2 и 6.3 показаны зависимости мгновенных значений векторов Е и Н от времени tв некоторой фиксированной точке пространства (z = z0) в среде с σ≠0 (см. рис. 6.2) и в среде без потерь (см. рис.6.3). На рис.6.4 и 6.5 показаны зависимости тех же величин от координаты z в некоторый фиксированный момент

времени t=t0 для случаев σ≠0 (см.рис.6.4) и σ =0 (см. рис. 6.5).

Фазовая скорость vф плоской волны находится так же, как в случае сферической волны (см.5.3).

Используя формулу (6.13), рассмотрим перемещение ∆z ПРФ за время ∆t. В результате придем к равенству из которого следует, что при σ≠0

В среде без потерь т.е. равна скорости света в среде с теми же параметрами ε и μ. Так как то vф в среде с потерями меньше уф в среде без потерь с теми же ε и μ.

Параметр β, определяющий фазовую скорость, называют коэффициентом фазы. Как видно из (6.16),

при σ≠0 фазовая скорость зависит от частоты (tg δ =σ/(ωε)): с увеличением последней она возрастает.

Предельное значение vф при ω→∞ равно

Кроме того, величина vф зависит от проводимости среды: при одинаковой частоте она будет меньше в среде с большей проводимостью.

Она меньше длины волны в среде без потерь с теми же ε и μ. Ее значение зависит от проводимости среды. При фиксированной частоте длина волны λ убывает с увеличением σ; при σ = О длина волны Распространение волны сопровождается переносом энергии. При σ≠0 комплексный вектор Пойнтинга содержит как действительную, так и мнимую часть. Это означает, что имеется как активный, так и

реактивный поток энергии. Средняя за период плотность потока энергии экспоненциально убывает вдоль оси Z:

При σ≠0 комплексный вектор Пойнтинга является чисто действительным и не зависит от координат:

Как видно, в этом случае имеется только активный поток энергии.

Возникновение реактивного потока энергии в среде с σ≠0 может быть объяснено следующим образом. При распространении электромагнитной волны в среде возникают электрические токи с плотностью j = σЕ, на поддержание которых расходуется часть энергии волны. В свою очередь,

возникшие в среде электрические токи, излучают электромагнитное поле: создают вторичную плоскую волну, которая складывается с первичной, происходит непрерывный обмен энергией между

волной и средой, что и приводит к возникновению реактивного потока энергии.

Скороcть распространения энергии вычисляется по формуле (1.162) и равна фазовой скорости:

Как видно, при σ≠0 скорость распространения энергии зависит от частоты. В среде без потерь одинакова при любой частоте.

Характеристическое сопротивление волны Zc при σ≠ 0 также зависит от частоты. Модуль Zc возрастает с увеличением f. Его

предельное значение при f→∞ совпадает с характеристическим сопротивлением волны,

распространяющейся в среде без потерь с теми же ε и μ, т.е. равно Аргумент характеристического сопротивления ψс изменяется от π/4 (при f→0 ) до нуля (при f→∞).

Из изложенного следует, что свойства плоской волны, распространяющейся в среде с проводимостью и в среде без потерь, различны. Основное отличие состоит в том, что в среде без потерь параметры плоской волны (vф, v3, a, Zc и др.) одинаковы при любых частотах, а в среде с проводимостью они зависят от частоты. Зависимость свойств волны от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды - диспергирующими. Отметим, что среда может быть диспергирующей и при σ = 0, если характеризующие ее параметры е и ц зависят от частоты.

В общем случае вектор Ёт имеет две составляющие Ёхт и Ёут, между которыми возможен фазовый сдвиг. При этом вектор Нт также будет иметь две составляющие Нхт и Нут. Если составляющие вектора E по осям X и Y (Ех и Eу) изменяются синфазно, то поворотом осей координат X и У вокруг оси Z этот случай сводится к уже рассмотренному, когда вектор Ёт имеет одну составляющую. При наличии между составляющими Ёхт и Ёут фазового сдвига, не равного nπ, где п - целое число, волна имеет некоторые особенности, например при f→0 мгновенные значения векторов Е и Н не являются взаимно перпендикулярными (см.6.2). Перечисленные выше остальные свойства плоской волны имеют место и в этом случае.

Рассмотрим два частных случая реальных сред: диэлектрики и проводники. 6.1.3. Волны в диэлектриках

В диэлектриках tgδ<<1, поэтому можно приближенно положить Применяя дважды это приближенное равенство к выражению (6.7), получаем

Из полученных результатов следует, что параметры волны (β,λ,vф,vэ,Zc), распространяющейся в реальном диэлектрике, мало отличаются от ее параметров в среде без потерь с теми же ε и μ.

Коэффициент ослабления α является малой величиной и в первом приближении не зависит от частоты. Дисперсионные свойства проявляются незначительно.

6.1.4. Волны в проводниках

В проводниках (например, в металлах) tg 5>> 1. Поэтому в выражениях для α и β можно пренебречь единицей по сравнению с tg 5. В результате получим

6.1.5. Затухание волн Коэффициент ослабления α волны, распространяющейся в проводнике, большая величина. Поэтому

амплитуды векторов поля резко уменьшаются вдоль направления распространения: волна быстро затухает. Пусть амплитуда напряженности электрического поля в точке с координатой z равна Ет (z),

а амплитуда в точке с координатой z + l равна Em(z + I). Отношение

Em(z)/Em(z +l )= ехр(αl) (6.30)

показывает, во сколько раз уменьшилась амплитуда волны при прохождении ею расстояния l.

Затухание измеряют в неперах (Нп) и децибелах (дБ). Затухание в неперах определяют как натуральный логарифм отношения (6.30) In [Em (z)IEm (z + l)] = αl Затухание в децибелах определяют как двадцать десятичных логарифмов того же отношения: Коэффициент α, таким образом, определяет затухание волны при прохождении ею пути в один метр и измеряется в неперах на метр (Нп/м).

Вычислим затухание волны, распространяющейся в меди, при частоте в 1 Мгц. Коэффициент ослабления Это означает, например,

что при прохождении волной расстояния в один миллиметр ее амплитуда уменьшается в е14,8 раз,

т.е. примерно в 2,67 миллиона раз. Приведенный пример показывает, что переменное электромагнитное поле на частотах радиотехнического диапазона практически не проникает в глубь проводника.

6.1.6. Глубина проникновения Расстояние ∆°, при прохождении которого электромагнитное поле ослабевает в е раз, называют

глубиной проникновения поля в среду. На расстоянии ∆° ослабление составляет 1 Нп, т.е. α∆° = 1 и,

следовательно,

Как видно из формулы (6.32), глубина проникновения зависит от частоты: чем больше частота, тем меньше ∆°.

6.2. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН

Ориентация векторов Е и Н относительно осей X и У в плоской волне, распространяющейся вдоль оси Z, зависит от источника, создающего волну. Пусть, например, волна создается элементарным электрическим вибратором, расположенным на оси Z параллельно оси X в среде без потерь. Тогда в области, примыкающей к оси Z и удовлетворяющей условиям, при которых сферическую волну можно приближенно считать плоской, вектор Е будет иметь одну составляющую Ех, а вектор Н-

только составляющую Ну. Поле такой плоской волны в среде без потерь определяется формулами

(6.15). При выводе этих формул предполагалось, что начальная фаза вектора Е (фаза в момент времени t = 0 в точке z = 0 или что, то же самое, фаза вектора Ёо) равна нулю. Если начальная фаза равна φ, то формулы (6.15) принимают вид

Так как векторы Е и Н взаимосвязаны (Н = (1/ZC) [zo, E]), ограничимся рассмотрением одного вектора Е. Из формулы (6.33) следует, что половину периода направление вектора Е совпадает с направлением оси X, а другую половину периода - противоположно. Таким образом, в

фиксированной точке пространства (z = const) конец вектора Е с течением времени перемещается вдоль отрезка прямой линии, а величина вектора изменяется в интервале [-Е0, Ео]. Волны,

обладающие таким свойством, принято называть линейно поляризованными. Плоскость,

проходящую через ось Z и вектор Е, называют плоскостью поляризации. В рассматриваемом примере плоскостью поляризации является плоскость XOZ.

Если источником волны является элементарный магнитный вибратор, параллельный оси X, или элементарный электрический вибратор, параллельный оси Y, то вектор Е имеет, только составляющую Еу, а вектор Н- только составляющую Нх. Волна в этом случае также будет линейно поляризованной.

Предположим теперь, что волна создается двумя вибраторами, например взаимно перпендикулярными элементарными электрическими вибраторами, расположенными на оси Z, как

показано на рис. 6.6. В этом случае вектор Е имеет две составляющие Ех и Еу, которые изменяются либо синфазно, либо с некоторым фазовым сдвигом в зависимости от соотношения между фазами токов вибраторов. Вектор Н при этом имеет также две составляющие Нх и Ну, связанные с Ех и Еу соотношениями (6.2). Аналогичный результат получается, если в качестве источника волны рассматривать любую другую более сложную систему, излучающую монохроматические электромагнитные волны. Таким образом, в общем случае выражение для вектора Е плоской волны в среде без потерь записывается в виде

где Ехт и Еут - амплитуды составляющих Ех и Еу соответственно, а φ1 и t2-фазы этих составляющих в точке z = О при t = 0.

Для перехода к случаю среды с отличной от нуля проводимостью нужно в (6.34) заменить k на β и

положить Ехт = значения

амплитуд составляющих Ех и Еу соответственно в плоскости z = 0.

При этом получим Формулы (6.34) и (6.35) однотипны, и для дальнейшего достаточно исследовать любую из них,

например (6.35). Волну (6,35) можно рассматривать как суперпозицию двух плоских линейно поляризованных волн с взаимно перпендикулярной ориентацией векторов Е, распространяющихся в одном направлении (вдоль оси Z). Характер изменения вектора Е волны (6.35) с течением времени в фиксированной точке пространства зависит от соотношения между начальными фазами φ1 и φ2 и от амплитуд Е°хт и Е°ут.

Угол θ (рис. 6.7) между осью X и вектором Е в фиксированной точке пространства (z) определяется соотношением Как следует из формулы (6.36), угол θ зависит от соотношения между φ1 и φ2, а

также от отношения . В общем случае угол θ может изменяться со временем. Предположим вначале что начальные фазы φ1 и φ2 совпадают. Полагая в формуле (6.36) φ1=φ 2 φ, получаем Следовательно, вектор Е, определяемый равенством (6.35) в любой момент времени, лежит в плоскости, проходящей через ocь Z и составляющей угол θ = arctg Eут /Exm с плоскостью XOZ(рис. 6.8).

Аналогичное явление имеет место также в том случае, когда разность между φ1 и φ2 равна целому числу π:

В фиксированной точке пространства конец вектора Е с течением времени перемещается вдоль отрезка прямой линии, составляющей с осью X угол θ = (-1)narctg(E°ym/E°xm). Таким образом,

волна (6.35) при выполнении условия (6.38) является линейно поляризованной. Очевидно, что поворотом осей координат X и Υ относительно оси Z в этом случае можно добиться того, чтобы вектор Е в новой системе координат имел только одну составляющую Ех или Еу.

Равенство (6.39) означает, что угол θ в фиксированной точке пространства (z) увеличивается пропорционально t. Величина вектора Е при этом остается неизменной:

Таким образом, в фиксированной точке пространства вектор Е, оставаясь неизменным по величине,

вращается с угловой частотой ю вокруг направления z0. Конец вектора Е при этом описывает окружность (рис. 6.9, а). Волны такого типа называют волнами с круговой поляризацией.

Нетрудно убедиться в том, что при Е°xт = Е°yт = Ео волна будет иметь круговую поляризацию, если