Понкратьев Е. В. - Элементы КА

Для любых целых чисел m и r (m > 0, r > 0), пусть µ+(m, r) обозначает число решений уравнения

в положительных целых числах xi. Пусть µ(m, r) обозначает число решений уравнения (11.14) в неотрицательных целых числах xi, и µ¯(m, r) — число решений в целых числах xi уравнения

11.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. В обозначениях, введенных выше,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего докажем равенство (11.17). Для этого поставим в соответствие каждому решению (x1, . . . , xm) Nm уравнения (11.14) упорядоченное множество из r нулей и (m − 1) единиц, построенное следующим образом: берем x1 нулей, затем одну единицу, затем x2 нулей и одну 1 и т. д. После последней единицы берем xm нулей. Легко видеть, что построенное соответствие взаимно однозначно и µ(m, r) равно числу описанных выше множеств. С другой стороны, это число равно числу всех (m − 1)- элементных подмножеств множества {1, 2, . . . , m + r − 1}: подмно-

жество {i1, . . . , im−1} (1 6 i1, . . . , im−1 6 m + r − 1) соответствует упорядоченному множеству нулей и единиц, в котором единицы на-

ходятся на местах i1, . . . , im−1. Следовательно, µ(m, r) = m+r−1 .

m−1

Любое решение (x1, . . . , xm) уравнения (11.14) в положительных целых числах соответствует решению (x′1, . . . , x′m) Nm уравнения

x1 + · · · + xm = r − m, где x′i = xi − 1 (1 6 i 6 m). Обратно, каждое решение (x′1, . . . , x′m) Nm последнего уравнения соответствует ре-

шению в положительных целых числах (x′1 +1, . . . , x′m +1) уравнения (11.14). Следовательно,

(Заметим, что (11.16) выполняется также при r < m, так как kl = 0

для k, l N, k < l.)

108 ГЛАВА 4. ЦЕЛОЗНАЧНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

равенство является непосредственным следствием очевидного соот-

l=0

где (в соответствии с вышесказанным) коэффициент Cl равен числу решений (x1, . . . , xm) Nm уравнения x1 + · · · + xm = l. Следова-

тельно, (см. предложение 11.6), Cl = m+l−1 , так что (1 − t)−m =

m−1

∞

Pm+l−1 tl. Это соотношение показывает, что коэффициент при tr

m−1

l=0

в многочлене

(m, r N; m > 0).

способами. В основном мы будем рассматривать два отношения порядка на множестве P : порядок произведения 6, в котором неравенство (a1, . . . , am) 6 (b1, . . . , bm) выполняется тогда и только тогда, когда ai 6i bi для всех i = 1, . . . , m, и лексикографический порядок , который определяется следующими условиями: (a1, . . . , am)

(b1, . . . , bm) в P , если существует индекс k, такой, что a1 = b1, . . .

. . . , ak−1 = bk−1, но ak 6= bk , ak 6k bk . Легко видеть, что если каждое множество ωi (i = 1, . . . , m) вполне упорядочено относительно

m

порядка 6i, то множество P = Q ωi является вполне упорядочен-

i=1

ным относительно лексикографического порядка (в общем случае, P не является даже линейно упорядоченным относительно порядка произведения).

Мы будем рассматривать порядок произведения 6 и лексикографический порядок на множестве Nm всех m-мерных векторов с неотрицательными целыми координатами, а также на множествах

вида Nm × Nk (m N), где Nk = {1, 2, . . . , k} для любого k Z, k > 1. Множества N и Nk всегда рассматриваются с естественным

порядком, относительно которого они, очевидно, вполне упорядочены. Этот естественный порядок мы будем обозначать тем же символом 6, который используется для обозначения порядка произведения, если это не ведет к неоднозначности толкования.

12.1. ЛЕММА.

(1)Любое бесконечное подмножество множества Nm × Nk (m, k N, k > 1) содержит бесконечную последовательность, строго возрастающую относительно порядка

произведения, проекции всех элементов которой на Nk равны между собой.

(2)Существует упорядочение 60 множества Nm × Nk , относительно которого это множество является вполне упорядоченным, удовлетворяющее следующим двум условиям:

(a)(i1, . . . , im, j) 60 (i1 + e1, . . . , im + em, j) для всех

i1, . . . , im, e1, . . . , em N, j Nk;

(b) если (i1, . . . , im, j) 60 (i′1, . . . , i′m, j′), то

(i1 + e1, . . . , im + em, j) 60 (i′1 + e1, . . . , i′m + em, j′) для всех i1, . . . , im, i′1, . . . , i′m, e1, . . . , em N, j, j′ Nk.

(3)Множество Nm ×Nk является вполне упорядоченным относительно любого линейного порядка, удовлетворяющего условию 2a.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко видеть, что если E — бесконечное подмножество множества Nm × Nk , то существует бесконечное подмножество E1 E, проекции всех элементов e E1 которого на Nk равны между собой. Значит, для доказательства первого утверждения леммы достаточно показать, что любое бесконечное подмножество

вNm содержит бесконечную последовательность, строго возрастающую относительно порядка произведения. Пусть F — бесконечное подмножество множества Nm. Если множество первых координат элементов множества F бесконечно, то существует бесконечное подмножество G F , первые координаты любых двух различных элементов которого различны. Значит, существует бесконечная по-

следовательность G1 G, такая, что первые координаты элементов из G1 образуют строго возрастающую последовательность в N. Если же множество первых координат элементов из F конечно, то существует бесконечное подмножество F ′ F , все элементы которого имеют одну и ту же первую координату. В обоих случаях существует

бесконечная подпоследовательность F1 F , состоящая из различных элементов множества F , первые координаты которых образуют

неубывающую последовательность в N. Аналогично, из F1 можно выбрать бесконечную подпоследовательность F2, вторые координаты элементов которой образуют неубывающую последовательность

вN и т. д. В результате мы получим бесконечную последователь-

ность Fm элементов из Nm, которая строго возрастает относительно порядка произведения. Таким образом, первое утверждение леммы доказано.

Рассмотрим порядок 60 на множестве Nm × Nk, такой, что

(i1, . . . , im, j) <0 (i′1, . . . , i′m, j′)

тогда и только тогда, когда

(“ ” обозначает лексикографический порядок на N × Nk × Nm) для

любых элементов (i1, . . . , im, j), (i′1, . . . , i′m, j′) Nm×Nk. Множество Nm ×Nk вполне упорядочено относительно этого порядка (поскольку

множество N × Nk × Nm вполне упорядочено относительно лексикографического порядка), и условия 2a и 2b, очевидно, выполнены.

По первому утверждению леммы, существует бесконечная подпоследовательность F1 F , строго возрастающая относительно порядка произведения и такая, что проекции на Nk всех ее элементов равны между собой. Покажем, что F1 также строго возрастает относительно порядка 60. Действительно, если f ′ = (i1, . . . , im, j),

носительно порядка 60) последовательность элементов из Nm × Nk конечна (иначе, как мы видели, она содержит строго возрастающую последовательность, что невозможно для убывающей последовательности), так что множество Nm × Nk вполне упорядочено. Лемма до-

из U , для которых выполнено неравенство P ui 6 s.

i=1

Если E Nm, то VE будет обозначать множество всех элементов v Nm, которые не превосходят ни одного элемента из E относительно порядка произведения 6 на Nm. (В дальнейшем, если противное не оговорено явно, все сравнения элементов из Nm рассматриваются относительно порядка произведения.) Таким образом, включение v VE эквивалентно утверждению, что неравенство e 6 v не выполняется ни для какого e E.

В дальнейшем hU обозначает функцию N → N, такую, что hU (s) = Card U (s) для любого s N.

12.2. ЛЕММА. Пусть U Nm и Ua — результат параллельного сдвига множества U на вектор a = (a1, . . . , am) Zm, т. е. Ua =

= {a+u | u U } Zm. Предположим также, что Ua Nm. Тогда

m

для любого s Z имеем hU (s) = hUa (s + |a|), где |a| = P ai.

i=1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, параллельный сдвиг на вектор a, отображающий точку u U (s) на точку uˆ Ua(s + |a|), является биективным отображением множеств U (s) → Ua(s + |a|). Следовательно,

hU (s) = Card U (s) = Card Ua(s + |a|) = hUa (s + |a|).

12.3. ЛЕММА. Пусть K Zm и L = {x Nm | x не превосходит ни одной точки из K относительно порядка произведения на Zm}. Тогда существует подмножество H Nm, такое, что hVH (s) = hL(s) для всех s Z.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любой точки a = (a1, . . . , am) K по-

ложим f (a) = (j1, . . . , jm), где ji = max(0, ai), i = 1, . . . , m. Пусть

H = a K f (a). Тогда H Nm является требуемым множеством. Действительно, x Nm \ L тогда и только тогда, когда x Nm и x больше или равен некоторой a K, что эквивалентно неравенству

для любого s Z. Ясно, что v(s) = hU (s), где U — множество эле-

ментов v VE , таких, что v > e. Применяя лемму 12.2 к U и −e, видим, что v(s) = hU−e (s − |e|). Далее, обозначая K Zm результат параллельного сдвига E на вектор −e и применяя лемму 12.2, получаем, что L совпадает с U−e. Таким образом, hU−e (s) = hVH (s), где множество H задается следующим условием:

x = (x1, . . . , xm) H тогда и только тогда, когда существует элемент

r = (r1, . . . , rm) E, такой, что xj = max(0, rj − ej ), j = 1, . . . , m. Таким образом, мы доказали следующую формулу:

для всех s Z.

Отметим, что в формуле (12.1) множество E, а следовательно, и H, может быть пустым.

12.4. ЛЕММА. Пусть E Nm (m > 1), и 1 6 i 6 m. Предположим, что E содержит элемент, i-я координата которого

равна 1, а все остальные равны 0. Пусть ˜ обозначает мно-

E

жество всех элементов e = (e1, . . . , em−1) Nm−1, таких, что

(e1, . . . , ei−1, 0, ei, . . . , em−1) E. Тогда hVE (s) = hV ˜ (s) для всех

E

s Z.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отображение ϕ : VE˜ (s) 7→VE (s), такое, что

ϕ(v1, . . . , vm−1) = (v1, . . . , vi−1, 0, . . . , vm−1)

является взаимно однозначным отображением множества V ˜ (s) на

E

множество всех элементов v = (v1, . . . , vm) VE (s) с нулевой i-ой

координатой, т. е. на множество VE (s).

12.5. ТЕОРЕМА. Для любого множества E Nm (m > 1) справедливы следующие утверждения:

(1) существует целозначный многочлен ωE (t), такой, что ωE (s) = Card VE (s) для всех достаточно больших s N;

(2) deg ωE 6 m, причем deg ωE = m тогда и только тогда,

когда E = в этом случае ωE (t) = t+m ;

m

(3) ωE (t) ≡ 0 тогда и только тогда, когда (0, . . . , 0) E.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Очевидно, что если F — множество всех минимальных элементов множества E, то VF = VE , так что мы можем (и будем) предполагать, что E конечно и его элементы попарно несравнимы. Пусть E = {e1, . . . , er }, где ei = (ei1, . . . , eim)

любого s N, так что можно положить ωE (t) ≡ 0. Таким образом, утверждение (1) доказано при |E| = 0.

Более того, если m = 1, то E содержит только одну точку e, так что ωE (t) ≡ e является требуемым многочленом.

Пусть |E| > 0 и m > 1. Тогда существует отличный от (0, . . . , 0)

элемент e = (e1, . . . , em) E. Пусть ei > 0, для некоторого 1 6 i 6 m, и r — элемент множества Nm, i-я координата которого равна 1 и все

остальные равны 0. Применяя соотношение (12.1) к E и r, получаем

целозначные многочлены ω1(t) и ω2(t) такие, что hV(E r) (s) = ω1(s) и hVH (s) = ω2(s) для всех достаточно больших s N. Поэтому

целозначный многочлен

ωE (t) = ω1(t) + ω2(t − 1)

удовлетворяет условиям первого утверждения леммы.

(2) Как мы уже видели, если E = , то ωE (t) = t+mm , deg ωE = m. Значит, чтобы доказать второе утверждение теоремы, достаточно доказать, что deg ωE < m, если E 6= . Формула (12.1), примененная в