Сложение векторов

1. Правило параллелограмма.

A C

=+

(Векторы а и b не коллинеарные.)

O B

2) Правило треугольника

С

=+

(Векторы а и b могут быть коллинеарные.)

О В

Умножение вектора на число

Правила(Определения):

1) ;

2) = |λ| ||;

3)Эти векторы сонаправленны, если λ > 0, и противоположно направлены, если λ < 0.

Свойства:

1. 0 =;

2. |+| ≤ || + || и |+| = || + || ↔↑↑ – ипараллельны и сонаправленны;

3. | -| ≥ ||| -||| и |+| =| || - ||| ↔↑↓–ипараллельны и противоположно направлены.При этом вектор+направлен в сторону того из векторов или , который имеет большую длину

Свойства линейного пространства

1. + =+ (очевидно, если сложить по правилу параллелограмма)

2. (+) += + (+)

3. +=

4. + (-) =

5. λ(+) =λ + λ

6. (λ + μ) = λ + μ

7. (λμ) = λ(μ)

8. 1×=

Докажем свойства 2) ÷ 8):

2) Ассоциативность

С

+ =

+ =

+ (+) =+= (14.1)

(+) +=+= (14.2) В

(14.1) = (14.2)

О А

Рис 14.3

3) +=

4. По определению: – =+ (-).

= , тогда -=: – =+ (-) =+==

5. Пусть 0 ,0, λ0 (иначе 5-е свойство становится тривиальным:=, или ( при= 0); λ = λ), предположим: инеколлинеарные.(случай|| будет доказан в §16 п.16.2)

Пусть точка О – начальная точка вектора.(см. рисунок 14.4)

В’

В

= = λ= λ=

Также: || (т.к. λ|| ) иOAB = OA`B`.

Также: О А А’

Рис 14.4

Поэтому ΔOA`B` ~ ΔOAB, B`OA` = BOA , т.е точка B лежит на прямой OB’.

Но ` =` +=λ +λ (14.3);

= + = +(14.4)

`|| , т.к. ∆OAB ~ ∆OA’B’ ,т.е. (14.5)

Подставляем (14.3) и (14.4) в (14.5) получаем λ+ λ= λ(+).

6. Можно полагать, что λ 0, μ0,0, иначе свойство (6) становится тривиальным:

= .

(или при μ = 0, λ= λ)по определению (см.14.2 , правило 1)считаем, что λ‌║‌ , μ║ → (λa + μ‌‌‌) ║‌ (14.7)

и (λ + μ) || (14.8).

Из (14.7) и (14.8) следует, что (λ+ μ) || λ + μ.

Далее надо рассматривать следующие случаи:

а) λ > 0 , μ > 0

б) λ > 0 , μ < 0 , λ + μ > 0

в) λ > 0 , μ < 0 , λ + μ < 0

г) λ < 0 , μ < 0

Рассмотрим, например, случай (б): т.к. λ + μ > 0, то (λ + μ)↑↑,λ↑↑,μ↑↓ , т.е. μ↑↓λ.

Поэтому вектор коллинеарен как, так и, и направлен в сторону более

длинного вектора, т.е. .

(14.10)

Из случая (б) имеем: , т.е.

из (14.10) следует (14.11)

т.е. векторы иимеют одинаковую длину.

Заметим, что , ибоимеет большую длину, чем

Поэтому и случай б) доказан

(Остальные случаи читателю предоставим рассмотреть самостоятельно.)

7. Заметим, что (14.12)

т.е. (см 14.12)); (14.13)

Покажем, что(14.14)

Для чего рассмотрим следующие случаи:

а) б)в)г)

Рассмотрим, например, случай (в) (остальные случаи просим читателя рассмотреть самостоятельно):

и потому (14.15)

также ,, т.е.(14.16)

сопоставляя (14.15) и (14.16), получим (14.14).

8) и, т.е.

15 Вопрос а) Линейно – зависимые векторы и их свойства

Определение:

Система векторов называетсялинейно-зависимой (л.з.), если , не все из которых = 0 и.

Определение:

линейно выражается через , если, что

Свойства:

1) Если система содержит нуль-вектор, то она линейно зависима: =.

2) Если система имеет линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима.

, т.к.

3) Система векторов линейно зависима, тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы линейно выражается через остальные векторы.

, если , то

Если же , тои системалинейно зависима.