Каноническое уравнение прямой как уравнение прямой в пространстве проходящей через заданную точку и коллинеарной заданному вектору

Дано:

рис 40.1

, Пусть M(x,y,z) – точка прямой L

Тогда , т.е. имеет место

уравнение:

(40.2)

При этом даже может и быть, например,  (=0,=0). означает в (40.2), что . Исключено лишь, ибо

Определение 40.1 . Уравнение (40.2) называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Обозначим величину, стоящую в равенстве (40.2), за t. Получим уравнение

(40.3)

Выразим x, y, z в (40.3) через t

t – параметр. (40.4)

Если параметр t принять за время, то уравнение (40.4) будет задавать равномерное движение точки M(x,y,z) по прямой со скоростью

Определение 40.2. Уравнение (40.4) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве.

41 Вопрос Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду

Пусть задано общее уравнение прямой

:

Условие (40.1) легко можно переписать в виде

(41.1)

При этом прямая =, а плоскостьиимеют нормали

,

Чтобы общее уравнение прямой привести к каноническому, нужно:

1. Найти одну из точек на прямой

Для этого надо выбрать в левой части неравенства (41.1) ненулевой определитель (например, ) и положить в (37.3) переменную, которая не соответствует выбранному определителю (в нашем случае –z) нулю или какому-либо иному числу. Тогда система (37.3) станет системой с ненулевым определителем (в нашем случае ), и, следовательно, она будет иметь решение. Присоединив к этому решению ранее выбранную величину (z), получим координаты одной из точек на прямой линии .

2) Найти направляющий вектор прямой .

Так как и(), а, и, то и,

. А так как вектор также, и, то (см. задачу в п.29.1)и поэтомуСледовательно, направляющим вектором прямойможно положить

Пример: привести к каноническому виду

Решение: 1. х=0: ;

2. Направляющий вектор ;

3. Уравнение прямой:

42 вопрос

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки

Дано

Каноническое уравнение этой прямой имеет вид:

; (42.1)

а её параметрическое уравнение:

(42.2)

Читателю предлагается самостоятельно проверить, что координаты точек иудовлетворяют как уравнению(42.1), так и уравнению (42.2), при этом точекв (42.2) соответствует значениеt=0 , а точке -t=1. Эта прямая единственна как прямая, проходящая через две заданные точки.

43 вопрос

А)

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

, ,

, ,

Рассмотрим матрицы

; ;

рис.43.1

Возможные случаи взаимного расположения двух прямых:

r(А)=r(В)=1 (43.1)

r(А)=1, r(В)=2 (43.2) (см. рис 43.1)

r(А)=r(В)=2 (43.3) , т.е. вектора,икомпланарны и не выполняются случаи 1)и 2) пересекает в единственной точке, ибо случаи 1) и 2) исключают условие (43.3). В частности detB=0 илежат в одной плоскости.

detB≠0 или r(А)=2, r(В)=3 и находятся в разных плоскостях или скрещиваются. (43.4)

Б)

Угол между двумя прямыми иможно найти как угол между их направляющими векторамии, которые, согласно равенству (24.11) (см.§24), можно найти по формуле:

(43.5)