Условие перпендикулярности

n2

Рис37.1

Условие перпендикулярности: (37.5)

38 Вопрос

А)

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и ортогональной заданному вектору

Пусть дана плоскость :

; ,­– её вектор нормали

Тогда уравнение такой плоскости было получено в §36, и оно имеет вид: (36.3)

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и коллинеарной двум заданным неколлинеарным векторам

, и

вектора ,, икомпланарные, т.е

. Тогда из §28 (формулы(28.1))имеем:

(38.2)

рис.38.1

Б)

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки и коллинеарной заданному ненулевому вектору

Дано:

Тогда векторы (М (x,y,z)- произвольная точка на плоскости ) компланарны,

т.е.

, и

(см.параграф 28) (38.3)

В)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

. Это уравнение имеет вид:

(38.4)

Читателю непосредственно предлагаем проверить, что координаты точек удовлетворяют линейному уравнению (38.4), и поэтому плоскость, заданная уравнением (38.4), искомая(и единственная как плоскость, проходящая через три заданные точки).

Г)

Уравнение плоскости в отрезках

В §36 (36.2) было показано, что уравнение плоскости, не параллельной ни одной из координатных осей и не проходящей через начало координат, можно свести к виду:

z

c

(36.6)

y

b

a

x рис.38.2

Положим что y=z=0, получим :

x=a, т.е. точка оси ОХ с координатами (a,0,0) лежит на плоскости. Аналогично

получим , что точки с координатами (0,b,0) и (0,0,c) так же находятся на плоскости( см. рис.38.2). Тогда a,b и с (точнее ) это длины отрезков, отсекаемых нашей плокостью от координатного тетраэдра.(см. рис 38.2).

Определение 38.1. Поэтому равенство (36.6) называется уравнением плоскости « в отрезках»

39 Вопрос Расстояние от точки до плоскости

Пусть дана плоскость :и точка.

Расстояние от точки до плоскостивычисляется по формуле (эта формула доказывается в параграфе 44)

(39.1)

Пусть , ,, тогда нормальное уравнение плоскости:, (39.2)

где .

Пусть вектор , тогда

Отклонение точки от плоскостинаходится как:, гдеи– начало координат.

Если инаходятся по разные стороны от плоскости, то отклонение равно «»,

если инаходятся по одну сторону от плоскости, то отклонение равно «».

40 Вопрос Прямая как пересечение двух плоскостей. Общее уравнение прямой в пространстве

Как уже сообщалось в параграфе 37, система уравнений (37.3) с условием r(β)=2 задаёт в пространстве прямую линию поэтому система

–общее уравнение прямой в пространстве, где

(40.1)

: ,:,.