Общее уравнение плоскости и его исследование

Здесь мы будем изучать общее уравнение плоскости (36.4), т.е. рассматривать как особые случаи, когда какие-либо (какой- либо) из коэффициентов A,B,C или D обращается в ноль (с учётом ограничительного условия (36.1), возможно 13 таких случаев), так и общий случай , когда

1.A=0. Тогда уравнение плоскости примет вид:

Эта плоскость имеет вид нормаль , т.е. она ортогональна вектору

. Однако вектор ,так же ортогонален вектору

(используя формулу (24.9) (см. §24), непосредственно можно убедиться, что скалярное

произведение т.е.и поэтому данная плоскость коллинеарная векторут.е оси Оx (она либо параллельна оси Ox либо проходит через нее, запись ||Ox)

Остальные случаи рассматриваем аналогично. Составим таблицу особых случаев

Таблица особых случаев

№ п/п	Условие на координаты	Уравнение плоскости	Геометрический смысл	Пояснения
1	A=0	By+Cz+D=0	|| OX	См. Выше
2	B=0	Ax+Cz+D=0	|| OY	Аналогичный случай
3	C=0	Ax+By+D=0	|| OZ	Аналогичный случай
4	D=0	Ax+By+Cz=0	(проходит через начало координат	Ибо координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости.
5	A=B=0	z=-D/C	|| плоскости	Составляем случай 1 и 2
6	A=C=0	y=-D/B	|| плоскости	Составляем случай 1и 3
7	B=C=0	X=-D/A	|| плоскости	Составляем случай 2 и 3
8	A=D=0	By+Cz=0	( плоскость проходит через осьOx	Составляем случаи 1 и 4, плоскость коллинеарна осиOx и проходит через одну из её точек
9	B=D=0	Ax+Cz=0		Составляем случай 2и 4
10	C=D=0	Ax+By=0		Составляем случай 3 и 4
11	A=B=D=0	z=0		Составляем случай 5 и 4
12	A=C=D=0	Y=0		Составляем случай 6 и 4
13	B=C=D=0	x=0		Составляем случай 7 и 4

14. Общий случай

Так же разделив обе части уравнения (36.4) на –D получим:

или

Обозначим далее за из последнего равенства имеем:

(36.6)

К уравнению (36.6) мы еще вернемся в § 38(п.38.5)

37 Вопрос Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, угол между ними Взаимное расположение двух плоскостей

Даны плоскости: : (37.1)

: (37.2)

Рассмотрим матрицы:

; ;

Из условия (36.1) и леммы 2 § 11 (см.11.2), а также вывода в п.13.3 (§13)

следует что:

1(r(α) – ранг матрицы α)

Возможные случаи взаимного расположения двух плоскостей:

r(α)=r(β)=1 =, ибо в этом случае строки матрицы β пропорциональны, те

и тогда уравнение (37.2) принимает вид

, которое эквивалентно уравнению (37.1) , т.е. плоскости исовпадают

r(α)=1, r(β)=2 ||

Ибо по теореме Кронеккера-Капелли (см.параграф 13), система уравнений (37.1) и (37.2) не совместна, т.е. плоскости ине имеют общих точек.

r(α)=r(β)=2 - прямая линия

(37.3)

Угол между двумя плоскостями

: ; ={A₁,B₁,C₁} ­– её вектор нормали;

: ;={A₂,B₂,C₂} – её вектор нормали.

Угол между двумя плоскостями совпадает с углом между их нормалями (см.рис 37.1), т.е =(37.4)

Формула (37.4) вытекает из равенства (24.11) (см. § 24)