Свойства векторного произведения .(антикоммутативность, линейность и однородность)

1. (антикоммутативность)

2. (однородность)

3. и (адютивность (линейность))

Доказательство свойств:

1)

Доказательство: ии, а так жет.е.иортогональны одним тем же плоскостям.

Поэтому и(это мы определяем по правилу правой руки), а(см. Рис25.1) следовательно

2)

Доказательство: Рассмотрим следующие случаи ;;

1) ,

Рис 25.2

=, а так как, ибо они ортогональны плоскости параллелограммаOADB (см. рисунок 25.2), а так же они имеют одинаковое направление ,что можно определить направление по правилу правой руки то >0

2)

Рис 25.3

(см. рис. 25.3)

(25.1),

ибо иортогональны одной и той же плоскости параллелограммаOABD, (25.2)

(25.3)

, ибо эти параллелограммы имеют одинаковые стороны ии общую высоту опущенную из вершиныB. Поэтому из (25.2) и (25.3) следует , что:

Читателю рекомендуем самостоятельно по правилу правой руки установить, то, что они направлены в разные стороны.

что и поэтомуи случайдоказан.

3)тогда,и для

можно применить случай 1). Из случаев 1)и 2) имеем:

(

(*)Свойство2)Для второго множителя можно доказать , используя уже доказанную антикоммутативность ( Свойство1)и только что полученное свойство2) для первого множителя:

3) , Рассмотрим следующие случаи:

А),

Рис 25.4

Пололожим ,,; аналогично

(25.7)

Тогда сумма диагональ параллелограммаOACB (25.4)

(25.5)

Также : ипо определению векторного произведения , ии(см 25.7)тогда параллелограммполучится из параллелограммаOACB поворотом последнего на угол ( по часовой стрелке). Поэтому и диагональ

и =(напомним, чтои, т.е.

(25.6)

Подставляя в (25.6) вместе иих значения из формулы (25.4) и (25.6) получим

случай А) доказан

Б) введем вектор

условию А) поэтому

, и случай Б доказан

В дальнейшем случае нам понадобится Лемма25.1:

Обозначим запроекцию векторана плоскость , перпендикулярную вектору(эта проекция сама является вектором, которая на рис 25.5 обозначим за).

Тогда имеет равенство:

(25.8)

Доказательство Леммы 25.1:

Рис 25.5

( см. рис 25.5). Поэтому ортогональна той же плоскости параллелограммаOACB (см. рис 25.5 где вектор ). Поэтому они коллинеарные и по правилу правой руки определяем ,что

(25.9)

Их длины(25.10)

(25.11)

Но параллелограмм OACB и прямоугольник имеет одинаковые площади, ибо они имеют общую сторонуOA и одинаковую высоту( эта высота равна AD).

Поэтому из (25.10) и (25.11) получаем , что

(25.12)

Тогда из (25.12) и (25.9) получим , что

Для доказательства правой части (25.8) можно использовать антикоммутативность и только что полученное равенство.

Лемма 25.1 доказана.

Продолжим доказательство свойства 3

В) Так как и, то вектора,иудовлетворяют уже доказанному свойству Б. А так как проекция суммы равна сумме проекций( это было доказано в §20), т.е из Леммы 25.1 получим :

Для доказательства равенства используем антикоммутативность векторного произведения и только что доказанное равенство:

.

Свойство 3 полностью доказано.

Условие коллинеарности двух векторов

Из условия 2 при определении векторного произведения получаем , что

(25.13)

( ибо если , параллелограмм OADB (см.рис 25.1) будет иметь нулевую площадь и наоборот)