Доказательство достаточности теоремы Кронеккер-Капелли

Полагая в системе (19.2): Ax = b все свободные неизвестные нулями, получим систему: (19.18),

где – матрица базисного минора. А так как это матрица невырожденная, то система (19.18) (и система (19.2)) имеет решение.

Доказательство критерия определённости системы

Если n = r , то по теореме 19.2 множество решений однородной системы (19.7) имеет размерность, равную нулю, то есть решение однородной системы состоит только из одного нулевого решения. Тогда, по теореме 19.3 всякие решения системы (19.1) состоят только из одного частного решения, то есть оно единственно, и поэтому система (19.1) является определённой.

20 Вопрос

Базис - множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Ортонормированный базис

Определение: Векторы и–ортогональные, если они перпендикулярны друг другу.

Определение: Базис является ортогональным, если все его векторы попарно перпендикулярны.

Определение: Базис является ортонормированным, если он ортогонален и все векторы в нём имеют единичную длину.

Если базис ортонормированный, то

Где - проекция векторана вектор(для вывода этой формулы надо внимательно разобрать доказательства всех теорем из §16.1, когда - ортонормированный базис ) для теорем 16.3, а так же -ортонормированный базис (для теорем 16.2) либодля теорем 16.1

Тогда из §17 получим

следующие свойства проекции вектора на вектор:

Рис 20.1

21 Вопрос

Прямоугольная декартова система координат. Координаты точки. Определение координат вектора по координатам его начала и конца. Расстояние между двумя точками

Координаты точки– это координаты вектора ОМ (где О – начало координат

(см. рис 21.1)), т.е.(см. рис. 21.2)

тогда, если и,z

т.е. и,

тоy

x

Рис 21.1

В §24 будет показано, что длина вектора

(21.2)

Тогда расстояние между точками A и B:

(21.3)

(расстояние между точками А и В – это длина вектора АВ)

23 вопрос

Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение:

(23.6) – скалярное произведение

Свойства скалярного произведения:

1. 

2. 

3. 

4. 

Величина называется скалярным квадратом вектора. По определению:

(23.9)

Доказательство 2-го свойства:

Доказательство 3-го свойства:

Условие ортогональности 2-х векторов:

Если . Вывод.

24 вопрос

Вычисление скалярного произведения векторов через координаты сомножителей

Вычисление скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть

Ибо 1=и так как

Тоесть (24.9)

Доказательство формулы

Пусть ,тогда из(24.9) имеем (24.10)

Вычисление угла между векторами

(24.11)

Смотрите формулы (23.6), (24.9), (24.10)

Проекция вектора на ось, коллинеарную вектору

Смотрите формулы (23.6), (24.9), (24.10)

, (24.12)

=0 (24.13) далее формула

(либо в этом случае ,далее формула (23.6))

(здесь уже , затем используем равенство (23.6)

25 вопрос

Векторное произведение и его свойства

Определение векторного произведения

Обозначение векторного произведения :

при этом , по определению.

1) ,

2)

S-площадь параллелограмма OADB B

D

О

А

Рис 25.1

Направление вектора определяется по “правилу правой руки”: если большой палец правой руки направлен по вектору , а указательный по вектору, то ладонь укажет направление векторного произведения.

Его также можно определить по “правилу правого винта” или “Буравчика”: векторное произведение направленно в сторону движения правого винта , если его вращать от вектора к вектору.