19 Вопрос Исследование систем линейных уравнений Однородные системы

(19.1)

Ее матричная форма записи есть: (19.2)

Аx – линейный оператор, переводящий множество столбцов в множество столбцовпо формуле.

Теорема 19.1:

Пусть– решение, а– решение, тогда- решения.

, а решение системы .

(19.7)

Её матричная форма записи:

(19.8)

Определения:

Система (19.7) - однородная система линейных уравнений.

Система (19.1) - неоднородная система линейных уравнений.

(при , т.е.)

Т.е. всякое решение однородной системы (19.8) является ядром линейного оператора. Поэтому множество решений однородной системы (19.8) является линейным пространством.

Теорема 19.2: Множество решений системы (19.7) – линейное пространство размерностью n-r, где r – ранг матрицы А.

Определение: Базисным называется не равный нулю минор матрицы А, порядок которого равняется рангу матрицы.

Определение: Базис во множестве решений однородной системы (19.8) называется фундаментальной системой решений.

Пусть базисный минор содержит столбцы . Тогда–базисные неизвестные, а остальные – свободные неизвестные. Будем считать далее, что неизвестные – базисные, а– свободные неизвестные.

Положим – матрица, соответствующая базисному минору у матрицы системы (19.7), а– остальные столбцы матрицы этой системы с противоположным знаком. Тогда, перенеся члены со свободными неизвестными в правые части всех уравнений системы (19.7), получим уравнение:

(19.9)

А так как матрица в левой части (19.9) - невырожденная, то система (19.9) имеет единственное решение, т.е. каждому набору свободных неизвестных соответствует единственный набор базисных неизвестных.

Доказательство теоремы 19.2:

Рассмотрим наборы:

(19.10)

Пусть – решение,– решение, …,– решение системы

Пусть …(19.12)

Покажем, что – базис в пространстве решений (19.7).

1) Линейная независимость :

Пусть, т.е.

или (19.13)

Сравнивая в левых и правых частях столбцов равенство (19.7) их нижних n-r чисел, получаем, что , т.е. система– линейно независима.

2) Полнота

Пусть – произвольное решение системы (7), тогда имеем(19.14)

(докажите равенство (19.14) используя определение в (19.10))

Но согласно формуле (19.9), базисные неизвестные однозначно определяются из системы

(19.15)

поэтому из теоремы 19.1 и равенства (19.15) имеем: (19.16)

Соединяя столбцы в равенство (19.14) и (19.1Б) (сверху напишем столбцы из (19.16), снизу из (19.14)) и используя определение (19.12), получим: (19.17)

Равенство (19.17) означает, что всякое решение системы (19.7) выражается через решения по формуле (19.17). Поэтому совокупность решений– полна, и, сопоставляя с ранее доказанной линейной независимостью, получим, что– базис, имеющий (n-r) решений. Теорема 19.2 полностью доказана.

Решение неоднородных систем

Теорема 19.3: Общее решение неоднородной системы (19.1) представляется в виде сумм частного решения (19.1) и общего решения соответствующей однородной системы (19.7).

Доказательство: Если – некоторое частное решение системы (19.1), то для любого

решения системы (19.7) по теореме 19.1 имеем, чтоявляется решением системы (19.1). Наоборот, для любогорешения системы (19.1) из теоремы 19.1 имеем, что разностьявляется решением соответствующей однородной системы (19.7).

Теорема 19.3 доказана.