
IX. Линейные пространства
9.1.
Матрицей перехода от базиса
к базису
,
где
является…
…
9.2. Матрица перехода от одного базиса к другому всегда является…
…невырожденной.
9.3. В линейном пространстве векторов, параллельных данной плоскости, базисом являются …
… любые два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости.
9.4.
Все функции, определенные на всей
числовой прямой и удовлетворяющие
условию
,
…
…образуют
линейное пространство, если
,
а операции суммы и умножения на число
определены стандартным способом.
9.5.
Вектор
…
… невозможно
представить в виде линейной комбинации
векторов
и
.
9.6.
Матрицы вида
(операции сложения и умножения на число
определены стандартным образом)…
…образуют линейное пространство размерности 1.
9.7.
Матрицы вида
(операции сложения и умножения на число
определены стандартным образом)…
…не образуют линейного пространства.
9.8.
Матрицы вида
,
где числа
,
,
и
удовлетворяют условиям
,
,
а операции сложения и умножения на
число определены стандартным образом,
…
…образуют линейное пространство размерности 2.
9.9.
Векторы
,
,
…
… являются линейно-зависимыми.
9.10.
Разложение вектора
по базису
,
,
имеет вид
,
где…
….
9.11.
Функции
,
,
будут линейно зависимыми при…
…
.
9.12.
Функции
,
,
будут линейно-независимыми при…
…любом
значении
.
9.13.
Базисом линейного пространства решений
однородной системы
является…
… вектор
.
9.14.
Векторы
,
и
…являются линейно-независимыми.
9.15.
Проверьте, что множество функций вида
(квадратные трехчлены) таких, что
,
образует линейное пространство. Базисом
в этом пространстве является…
…
,
.
9.16.
Базисом линейного пространства решений
однородной системы
является…
… векторы
,
,
.
9.17.
Матрица линейного оператора, переводящего
любой вектор
в вектор
,
записанная в стандартном базисе
,
,
,
имеет вид…
…
.
9.18.
Матрица дифференцирования многочленов
не выше второго порядка в базисе
имеет вид…
…
.
9.19. Матрица линейного оператора, отображающего все геометрические векторы пространства в векторы, параллельные некоторой плоскости, является…
…вырожденной.
9.20.
Известно, что линейный оператор
переводит вектор
в вектор
,
а вектор
— в вектор
.
Матрица этого оператора, записанная
в базисе
,
,
имеет вид…
…
.
9.21.
Матрица оператора симметрии относительно
плоскости
, записанная в базисе
,
,
,
имеет вид…
…
.
9.22.
Матрица оператора ортогонального
проектирования на плоскость
,
записанная в базисе
,
,
,
имеет вид…
…
.
9.23.
Матрица некоторого оператора, записанная
в базисе
,
,
имеет вид
.
Этот оператор является…
…оператором
симметрии относительно оси
.
9.24.
Множество всех матриц размера
,
для которых операции сложения и умножения
на число определены стандартным образом,
…
…является линейным пространством размерности 4.
9.25.
Линейной комбинацией векторов
и
является вектор…
….
9.26.
Известно, что линейный оператор
переводит вектор
в вектор
,
а вектор
— в вектор
.
Тогда вектор
переходит в вектор…
….
9.27.
Известно, что линейный оператор
переводит вектор
в вектор
,
а вектор
— в вектор
.
Тогда вектор
переходит в вектор…
….
9.28.
Размерность линейного пространства
симметричных матриц
…
…равна 6.