2. Методические указания по изучению раздела «расчёт электрических фильтров».

Электрические фильтры – это четырёхполюсники, которые с пренебрежимо малым ослаблением ∆A пропускают колебания в определённых диапазонах частот f₀…f₁ (полосах пропускания) и практически не пропускают колебания в других диапазонах f₂…f₃ (полосах задерживания, или непропускания).

Рис. 2.1.1. Фильтр нижних частот (ФНЧ). Рис. 2.1.2. Фильтр верхних частот (ФВЧ).

Существует множество различных типов реализации электрических фильтров: пассивные LC-фильтры (схемы содержат индуктивные и емкостные элементы), пассивные RC-фильтры (схемы содержат резистивные и емкостные элементы), активные фильтры (схемы содержат операционные усилители, резистивные и емкостные элементы), волноводные, цифровые фильтры и другие. Среди всех типов фильтров особое положение занимают LC-фильтры, так как широко применяются в телекоммуникационном оборудовании в различных частотных диапазонах. Для фильтров этого типа существует хорошо разработанная методика синтеза, а синтез фильтров других типов во многом использует эту

методику. Поэтому в курсовой работе основное внимание уделяется синтезу

Рис. 2.1.3. Полосовой фильтр (ПФ). пассивных LC-фильтров.

Задачей синтеза электрического фильтра является определение схемы фильтра с минимально возможным числом элементов, частотная характеристика которой удовлетворяла бы заданным техническим требованиям. Часто требования предъявляются к характеристике рабочего ослабления . На рисунках 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 требования к рабочему ослаблению заданы уровнями максимально допустимого ослабления в полосe пропускания А и уровнями минимально допустимого ослабления в полосе непропусканияAs. Задача синтеза разбивается на два этапа: задачу аппроксимации требований к рабочему ослаблению физически реализуемой функцией и задачу реализации найденной аппроксимирующей функции электрической цепью.

Решение задачи аппроксимации заключается в нахождении такой функции минимально возможного порядка, которая, во-первых, удовлетворяет заданным техническим требованиям к частотной характеристике фильтра, и, во-вторых, удовлетворяет условиям физической реализуемости.

Решение задачи реализации заключается в определении электрической цепи, частотная характеристика которой совпадает с функцией, найденной в результате решения задачи аппроксимации.

2.1. ОСНОВЫ СИНТЕЗА ФИЛЬТРОВ ПО РАБОЧИМ ПАРАМЕТРАМ.

Рассмотрим некоторые соотношения, характеризующие условия передачи энергии через электрический фильтр. Как правило, электрический фильтр используется в условиях, когда со стороны его входных зажимов подключаются устройства, которые на эквивалентной схеме могут быть представлены в виде активного двухполюсника с параметрами E(jω), R1, а со стороны выходных зажимов подключаются устройства, представляемые на эквивалентной схеме резистивным сопротивлением R2. Схема включения электрического фильтра представлена на рисунке 2.2.1.

На рисунке 2.2.2 представлена схема, на которой вместо фильтра и сопротивления R2 к эквивалентному генератору (с параметрами E(jω), R1) подключается нагрузочное сопротивление, величина которого равна сопротивлению генератора R1. Как известно, генератор отдаёт максимальную мощность в резистивную нагрузку, если сопротивление нагрузки будет равно сопротивлению внутренних потерь генератора R1.

Прохождение сигнала через четырёхполюсник характеризуется рабочей передаточной функцией T(jω). Рабочая передаточная функция позволяет сравнить мощность S₀(jω), отдаваемую генератором в нагрузку R1 (согласованную с его собственными параметрами), с мощностью S₂(jω), поступающую в нагрузку R2 после прохождения через фильтр:

. (2.1)

Аргумент рабочей передаточной функции arg{T(jω)} характеризует фазовые соотношения между э.д.с. E(jω) и выходным напряжением U₂(jω). Он называется рабочей фазовой постоянной передачи (обозначается греческой буквой «бета»):

_·

При передаче энергии через четырёхполюсник изменения мощности, напряжения и тока по абсолютной величине характеризуются модулем рабочей передаточной функции . При оценке избирательных свойств электрических фильтров используется мера, определяемая логарифмической функцией. Эта мера – рабочее ослабление (обозначается греческой буквой «альфа»), которая связана с модулем рабочей передаточной функцией соотношениями:

, (Нп); или (2.2)

, (дБ). (2.3)

В случае использования формулы (2.2), рабочее ослабление выражается в неперах, а при использовании формулы (2.3) – в децибелах.

Величина называется рабочей постоянной передачи четырёхполюсника (обозначается греческой буквой «гамма»). Рабочая передаточная функция может быть представлена с использованием рабочего ослабления и рабочей фазы в виде:

.

В случае, когда сопротивление внутренних потерь генератора R1 и сопротивление нагрузки R2 являются резистивными, мощности S₀(jω) и S₂(jω) являются активными. Прохождение мощности через фильтр удобно характеризовать с помощью коэффициента передачи мощности, определяемого как отношение максимальной мощности P_max, получаемой от генератора согласованной с ним нагрузкой, к мощности P₂, поступающей в нагрузку R2:

. (2.4)

Реактивный четырёхполюсник не потребляет активной мощности. Тогда активная мощность P₁, отдаваемая генератором, равна мощности P₂, потребляемой нагрузкой:

. (2.5)

Значение модуля входного тока выразим: , и подставим в (2.5).

С помощью алгебраических преобразований представим (2.5) в виде:

. (2.6)

Представим числитель правой части уравнения в виде:

.

Левая часть уравнения (2.6) представляет собой величину, обратную коэффициенту передачи мощности:

.

Следующее выражение представляет собой коэффициент отражения мощности от входных зажимов четырёхполюсника:

. (2.7)

Коэффициент отражения (напряжения или тока) от входных зажимов четырёхполюсника, равный

, (2.8)

характеризует согласование входного сопротивления фильтра с сопротивлением R1.

Пассивный четырёхполюсник не может давать усиление по мощности, то есть .

Поэтому для таких цепей целесообразно пользоваться вспомогательной функцией , определяемой выражением:

. (2.9)

Представим рабочее ослабление в иной, более удобной для решения задачи синтеза фильтров, форме:

, дБ.

Очевидно, характер частотной зависимости рабочего ослабления связан с частотной зависимостью функции , называемой функцией фильтрации: нули и полюсы функции фильтрации совпадают с нулями и полюсами ослабления.

На основании формул (2.7) и (2.9) можно представить коэффициент отражения мощности от входных зажимов четырёхполюсника:

(2.10)

Перейдём к записи операторных изображений по Лапласу, учитывая, что p = jω, а также что квадрат модуля комплексной величины выражается, например . Выражение (2.10) в операторной форме имеет вид

. (2.11)

Операторные выражения ,,являются рациональными функциями комплексной переменной «p», и поэтому их можно записать в виде

, ,, (2.12)

где ,,- являются полиномами, например:

.

Из формулы (2.11), учитывая (2.12), можно получить соотношение между полиномами:

(2.13)

На этапе решения задачи аппроксимации определяется выражение функции фильтрации, то есть определяются полиномы h(p), w(p); из уравнения (2.13) можно найти полином v(p).

Если выражение (2.8) представить в операторной форме , то можно получить функцию входного сопротивления фильтра в операторной форме:

. (2.14)

Условия физической реализуемости заключаются в следующем:

1. v(p) – должен быть полиномом Гурвица, то есть его корни располагаются в левой половине плоскости комплексной переменной p=α+j·Ω (требование устойчивости цепи);

2. w(p) – должен быть или чётным, или нечётным полиномом (для ФНЧ w(p) – чётный, чтобы не было полюса ослабления при ω=0; для ФВЧ w(p) – нечётный);

3. h(p) – любой полином с вещественными коэффициентами.

2.2. НОРМИРОВАНИЕ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ И ЧАСТОТЕ.

Численные значения параметров элементов L, C, R и граничных частот реальных фильтров могут принимать, в зависимости от технических условий, самые различные значения. Использование в вычислениях одновременно малых и больших величин приводит к значительной погрешности вычислений.

Известно, что характер частотных зависимостей фильтра не зависит от абсолютных величин коэффициентов функций, описывающих эти зависимости, а определяется лишь их соотношениями. Значения коэффициентов определяются значениями параметров L, C, R фильтров. Поэтому нормирование (изменение в одинаковое число раз) коэффициентов функций ведёт к нормированию величин параметров элементов фильтра. Таким образом, вместо абсолютных значений сопротивлений элементов фильтра берут их относительные величины, отнесённые к сопротивлению нагрузки R2 (или R1).

Кроме того, если нормировать значения частот относительно граничной частоты полосы пропускания (чаще всего используется именно это значение), то это ещё более сузит разброс величин, используемых в вычислениях, и повысит точность вычислений. Нормированные значения частот записываются в виде и являются безразмерными величинами, а нормированное значение граничной частоты полосы пропускания.

Для примера рассмотрим сопротивление последовательно соединённых элементов L, C, R:

Нормированное сопротивление: .

Введём в последнее выражение нормированные значения частот:где нормированные параметры равны:.

Истинные (денормированные) значения параметров элементов определяются:

. (2.15)

Изменяя значения f₁ и R2, можно из исходной схемы получать новые схемы устройств, работающих в других диапазонах частот и при других нагрузках. Введение нормирования позволило создать каталоги фильтров, что во многих случаях сводит сложную проблему синтеза фильтра к работе с таблицами.