ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность – числовая функция P, определенная на измеримом пространстве (Ω, U):

1. P(A) ≥ 0,

2. 

3. 

4. ;

Свойства вероятности:

1. P() = 0

2. 

3. 

4. 

5. 

Случайная величина – вещественная функция, заданная на измеримом пространстве (Ω, U) такая, что .

Функция распределения:

Свойства функции распределения:

1. 

2. 

3. 

4. 

Плотность распределения:

Свойства плотности распределения:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. для непрерывной случайной величины

Совместная функция распределения:

Свойства совместной функции распределения:

1. 

2. 

3. 

4. ,

5. - функция монотонно не убывает и непрерывна слева по каждой из переменных.

Совместная плотность распределения:

Свойства совместной плотности распределения:

1. 

2. 

3. 

4. ;

5. 

Независимость случайных величин:

Теорема 1 (дискретная случайная величина)

Теорема 2 (непрерывная случайная величина)

Условное распределение

Условная плотность распределения

Свойства условного распределения, если B – случайная величина y.

1. 

2. 

3. 

4. 

Функция случайной величины

Теорема. Если 𝝽 – непрерывная случайная величина, то

, 𝞅(y) – строго монотонная функция, .

Функция от нескольких случайных величин

Свертка

Пусть , – независимые случайные величины, то :

Пусть – независимые случайные величины, то

, ,

Числовые характеристики

1. Квантиль уровня p:

2. Математическое ожидание

ДСВ: ,

НСВ: ,

Свойства:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

3. Дисперсия

ДСВ:

НСВ:

Свойства:

• 

• 

• 

• 

• 

3. Среднее квадратическое отклонение

Свойства:

• 

• 

• 

• 

3. Коэффициент асимметрии

3. Эксцесс

Условные числовые характеристики

ДСВ:

НСВ:

Основные распределения

Распределение
Биноминальное
Геометрическое
Пуассона
Распределение
Равномерное
Экспоненциальное
Нормальное

Числовые характеристики нескольких случайных величин

1. Ковариация

Свойства

• 

• 

• 

• 

• Если 𝝽, 𝝶 – независимы, тогда

• 

• 

Корреляция

Свойства

• 

• Если 𝝽, 𝝶 – независимы, тогда

• 

• 

3. Центр рассеивания

4. Матрица ковариации

5. Матрица корреляции

ЗБЧ, ЦПТ, ВБУ

– независимые случайно распределенные случайные величины, где .

Закон больших чисел. , – число наступлений события А в серии из n испытаний Бернулли. Типичное поведение суммы имеет порядок n.

Центральная предельная теорема. . Отклонение от ЗБЧ имеет порядок .

Вероятность больших уклонений. имеет порядок , где , экспоненциально убывает.

8