Практическое занятие № 11

Объект исследования. Многоканальная система с бесконечной очередью с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным обслуживанием. В данном занятии исследуются различные характеристики многоканальных устройств с бесконечной очередью.

а) Средняя длина очереди

Аналитически средняя длина очереди определяется как:

S̅ = = У D_v (У)/(v – У) = Λ Р(γ > 0)/(v – У)

Здесь v – число каналов в системе, а остальные параметры имеют тот же смысл, что и в занятии № 10. Отметим, что в многоканальных системах условием статистической устойчивости является неравенство У < v, т.е. только в этом случае очередь не будет расти до бесконечности.

Экспериментально средняя длина очереди (S̅) по результатам прогона фиксируется непосредственно в стандартном отчёте в параметре AVE.CONT.

Листинг 11 - Имитационная модель - модуль 11 – анализ средней длины очереди

;Определение средней длины очереди

ggg storage 5 ;число каналов в пучке

eks fvariable -log((1+rn8)/1000) ;экспон.распределение

generate (2#v$eks) ;генерация пуассоновского потока

queue fff ;установить транзакт в очередь с именем fff

enter ggg ;Занять канал

depart fff ;уйти из очереди fff

advance (3#v$eks) ;обслуживание с экспон. распределением

leave ggg ;освободить канал

terminate 1

Задание. Исследовать зависимость расхождений результатов аналитической и имитационной моделей от величины Р(γ > 0). Параметры моделей (Λ, v, n) установить идентичными. Результаты представить графически.

б) Вероятность превышения длиной очереди заданной величины n

Аналитически эта вероятность определяется с использованием второй формулы Эрланга:

Р(S > n) = = (У / v)ⁿ⁺¹ D_v (У) = (У / v)ⁿ⁺¹ Р(γ > 0)

Для получения аналогичной вероятности на имитационной модели необходима достаточно сложная программа. Поэтому ниже приводится программа, позволяющая получить несколько приближённую оценку. Причём разница в результатах аналитической и имитационной моделей будет тем меньше, чем меньше эти вероятности.

Листинг 11а - Имитационная модель - модуль 11а

;Вероятность превышения установленной длины очереди (приблизительно)

ggg storage 5 ;число каналов в пучке

eks fvariable -log((1+rn8)/1000) ;экспон.распределение

generate (2#v$eks) ;генерация пуассоновского потока

test L Q$fff,10,met ;есть свободные места в очереди?

queue fff ;установить транзакт в очередь с именем fff

enter ggg ;Занять канал

depart fff ;уйти из очереди fff

advance (8#v$eks) ;обслуживание с экспон. распределением

leave ggg ;освободить канал

terminate 1

met savevalue otk+,1 ;зафиксировать отказ в переменной otk

terminate 1

Приближённый характер данной модели заключается в том, что реализуется очередь ограниченной длины, равной параметру n, и вместо вероятности превышения длиной очереди заданной величины n, имитационная модель определяет вероятность потери транзакта из-за ограниченной очереди.

Задание. Исследовать зависимость расхождений результатов аналитической и имитационной моделей от величины Р(γ > 0). Параметры моделей (Λ, v, n) установить идентичными. Результаты представить графически.

в) Вероятность ожидания свыше допустимого времени.

Это так называемые условные потери.

Аналитически эта величина получается достаточно просто:

Р(γ > t_д) = (γ > t_д) P_i = D_v (У) = Р(γ > 0)

Здесь величина t_д выражена в условных единицах времени (у.е.в.). Условные единицы времени широко применяются в теории телетрафика, т.к. позволяют абстрагироваться от конкретных астрономических единиц (час, мин, мкс) и получать математические выражения в унифицированном виде. Определяется как 1у.е.в. = t_{ср.обсл.} т.е. через среднюю длительность обслуживания.

На имитационной модели вероятность Р(γ > t_д) определяется по гистограмме в стандартном отчёте. Точнее по таблице в отчёте, в которой по вертикали откладывается время, а в последнем столбце – накопленные проценты.

Листинг 11б - Имитационная модель - модуль 11б

;Вероятность ожидания свыше допустимого времени t

ggg storage 5 ;число каналов в пучке

wtime qtable fff,0,0.5,40 ;распределение длит. ожидания

eks fvariable -log((1+rn8)/1000) ;экспон.распределение

generate (2#v$eks) ;генерация пуассоновского потока

queue fff ;установить транзакт в очередь с именем fff

enter ggg ;Занять канал

depart fff ;уйти из очереди fff

advance (3#v$eks) ;обслуживание с экспон. распределением

leave ggg ;освободить канал

terminate 1

Задание. Снять зависимость вероятности Р(γ > t_д) от допустимого времени t_д. Пределы изменения t_д подобрать так, чтобы Р(γ > t_д) изменялось примерно от 0,001 до 0,1. При этом соответствующим образом нужно подбирать операнды в операторе qtable.

г) Средняя длительность ожидания рассматривается в двух вариантах:

- γ̅_з - средняя длительность ожидания для задержанных вызовов, т.е. подсчитанная только среди тех, которые поступили на обслуживание после некоторого ожидания;

- γ̅ - средняя длительность ожидания для всех вызовов, т.е. для любого поступившего независимо от процедуры ожидания.

Аналитически оба параметра подсчитываются по формулам:

γ̅_з = 1/(v – У), γ̅ = γ̅_з D_v (У) = D_v (У) / (v – У) = Р(γ > 0) / (v – У)

Здесь величины γ̅_з и γ̅ выражены в условных единицах времени (у.е.в.).

Эмпирически эти параметры выводятся непосредственно в стандартном отчёте в строке queue:

γ̅_з – AVE.(-0), γ̅ - AVE.TIME

Задание. Построить на одном графике зависимости средних длительностей ожидания от степени загрузки канала: γ̅_з (ρ) и γ̅ (ρ) для аналитических и эмпирических наблюдений. Объяснить результаты наблюдений.