Тервер 00

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ

И ИНФОРМАТИКИ

Контрольная работа

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

(специальные главы)

ОСНОВЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОв

Выполнил: Решенина И. И.

Факультет ЗФ, группа БРС1251

Москва

2014 г.

Вариант 00

Задание 1.

Задан случайный процесс: Х(t) = u (t³ + 5). Найти математическое ожидание ковариационную функцию и дисперсию случайных процессов: ,

где u - случайная величина с известной плотностью распределения:

k=3, m=5

Р е ш е н и е:

Найдем параметр а из условия: .

Потребуем, что бы это условие выполнялось для заданной функции:

Тогда плотность распределения будет иметь вид:

1. По определению математического ожидания случайной величины найдём:

Используя свойство дифференцирования и интегрирования случайных процессов получим, что:

2. По определению дисперсии имеем: где:

Тогда дисперсия равна:

3. Найдём ковариацию случайного процесса.

Предварительно найдём:

Тогда:

Используя свойство дифференцирования и интегрирования случайных процессов получим, что: - равна второй смешанной производной.

Задание 2.

На вход сглаживающего фильтра (см. рис.) подаётся "белый" шум, имеющий спектральную плотность S₀= 100(мкв)²/Гц. Для данной схемы R = 10³кОм, L = m*10^-3Гн, где m = 3. Найти:

1. комплексную передаточную функцию K(jω) фильтра;

2. спектральную плотность S(ω) на выходе фильтра;

3. ковариационную функцию K(τ) на выходе фильтра;

4. дисперсию D сигнала на выходе фильтра.

При вычислениях воспользоваться формулой:

Р е ш е н и е:

Дифференциальное уравнение, описывающее связь между входным и выходным напряжением LR - цепочки, имеет вид: – апериодическое звено.

Апериодические звенья относятся по классификации к позиционным звеньям. Апериодическое звено - это звено, которое описывается следующим дифференциальным уравнением (учитывается демпфирование): .

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду: где: T₁ = 3*10^-9,

k = 1– статистический коэффициент усиления безынерционного звена.

Решение данного Д.У. , если у(0) = 0 и t = 0, то

2. Используя преобразования Лапласа получим:

Передаточная функция апериодического звена:

Передаточной функцией звена называется комплексный коэффициент, связывающий изображение входного и выходного сигнала при нулевых начальных условиях.

Передаточной функцией звена называется отношение Лапласа выходной к входной величин, т.е. при нулевых начальных условиях.

а преобразования входного сигнала 1(t) имеет вид: . Подставляя вместо S =jω, получим комплексную передаточную функцию: .

3. Следовательно, преобразование Лапласа переходной функции имеет вид: . Разложив на элементарные дроби правую часть последнего выражения получим: и, переходя к оригиналу, окончательно получим: Переходная функция: . Продифференцировав это уравнение, получим импульсно-переходную функцию: . Подставляя коэффициенты своего уравнения получим импульсно-переходную функцию: .

4. Спектральной плотностью SX(ω) стационарного случайного процесса X(t) называется предел отношения дисперсии, приходящейся на интервал частот ∆ω к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю .

Спектральная плотность SX(ω) для заданной ковариационной функции равна: . . Так как

S_Х(0) = 100(мкв)²/Гц. = 100*10^-12 (в)²/Гц

.

Задание 3.

На вход линейной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением: подаётся стационарный случайный процесс x(t) с ковариационной функцией .

Если m + k = m*k = 0, то считать m = 7, k = 3.

Получаем: . Найти дисперсию случайного процесса на выходе из системы в установившемся режиме.

Р е ш е н и е:

Вычисляя преобразование Лапласа от обеих частей при начальных условиях, получим формулу для передаточной функции линейной системы:

Подставляя вместо λ =jω, найдём амплитудночастотную характеристику системы:

Спектральная плотность SX(ω) для заданной ковариационной функции равна:

.

Найдём спектральную плотность с.п. на выходе системы:

Дисперсия случайной величины y(t) находим по формуле:

, где несобственный интеграл:

Рассмотрим неопределенный интеграл:

Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:

Получаем систему:

Решим эту систему методом Крамера:

Далее находим коэффициенты:

Получаем интеграл:

Далее возвращаемся к определённому интегралу:

Окончательно получаем: .

Задание 4.

Цепь Маркова с тремя состояниями S₁, S₂, S₃ характеризуется однородной стохастической матрицей:

(m =2)

где: Р₁₁ = Р₂₂ = Р₃₃ = m/(m+2) = 0,5; P₁₃ = P₂₁ = 2/(m + 2) = 0,5; P₃₁ =P₃₂ =1/(m + 2) = 0,25.

Требуется:

1. Изобразить граф состояний системы;

2. найти вероятность Pj(3) состояния системы на третьем шаге, если в начальный момент времени система находилась в состоянии S₁.

Р е ш е н и е:

Имеем матрицу:

1. Изобразить граф состояний системы;

2. найти вероятность P_j(3) состояния системы на третьем шаге, если в начальный момент времени система находилась в состоянии S₁.

То есть Р₁(0) = 1, Р₂(0) = Р₃(0) = 0; Р₁₁ = Р₂₂ = Р₃₃ = 0,5; Р₁₃ = Р₂₁ = 0,5; Р₁₂ = Р₂₃ = 0; Р₃₁ = Р₃₂ = 0,25.

Тогда:

Следовательно: Р₁(3) = 0,375; Р₂(3) = 0,1875; Р₃(3) = 0,4375.

10