2. Пользуясь уравнениями Максвелла, определим комплексные амплитуды составляющих вектора .

Введение:

Дан волновод с идеально проводящими стенками, заполненный однородной изотропной средой без потерь. По волноводу распространяется электромагнитное поле. Известна комплексная амплитуда вектора напряжённости электрического поля: .

Для изучения электромагнитного поля необходимо, прежде всего, описать его, определив все составляющие векторов электрической и магнитной напряжённостей. Впоследствии мы будем использовать полученные в этом пункте выражения, для того чтобы изучить свойства поля.

Исходя из технического задания, запишем выражения для комплексных амплитуд составляющих вектора , полагая, что множитель единичного вектораявляется комплексной амплитудой иксовой составляющей, множительявляется комплексной амплитудой игрековой составляющей, а множительявляется комплексной амплитудой зетовой составляющей. Таким образом, получим:

(1)

(2)

(3)

Воспользуемся вторым уравнением Максвелла в комплексной форме:

, [источник 1, стр.33] (4) где=, абсолютная магнитная проницаемость.

Найдем [источник 2, стр.16]:

(5)

Выразим комплексную амплитуду вектора из второго уравнения Максвелла:

Спроектируем полученное равенство на оси координат:

(6)

Подставим проекции ротора из формулы (5) в формулы (6):

(7)

Найдём выражения для частных производных составляющих комплексной амплитуды вектора по соответствующим координатам:

Подставим полученные выражения в выражения для составляющих вектора (7):

Упростив вышеследующие выражения, получим итоговые выражения для комплексных амплитуд составляющих вектора :

(8)

(9)

(10)

3. Определим диапазон частот, в котором – действительное число, т.Е. Рассматриваемое поле – бегущая волна.

По условию задачи . Значит,будет действительным в случае, если, т.е. присм.

Этому диапазону длин волн соответствует диапазон частот:

, гдеГц.

3 ГГц < 4.14 ГГц < 5.5 ГГц

Если частота волны не принадлежит рассчитанному диапазону частот, то является мнимой величиной. Для этого случая произведем замену:, для учета того факта, при этом,

4. Запишем выражения для мгновенных значений составляющих векторов поля и для двух случаев:

а) когда больше критической частоты, найденной в п.3;

б) когда меньше этой частоты.

Для получения выражений для мгновенных значений составляющих векторов поля необходимо помножить их комплексные амплитуды на выражение и выделить действительную часть.

В первом случае выражения для комплексных амплитуд составляющих используются без изменений.

Тогда для случая а), используя равенства (1), (2), (3) и (8), (9), (10), получим выражения:

(11)

а для случая б) мы вводим описанную в п.3 замену: . Выражения будут иметь вид:

(12)

5. Построим графики амплитуд составляющих векторов поля.

Для начала выпишем амплитуды ненулевых составляющих векторов поля, пользуясь выражениями (11) для частот выше критической и выражениями (12) для частот ниже критической.

а)

(13)

б)

(14)

Рассчитаем константы, которые входят в формулы (13) и (14):

Подставив в (13) и (14) рассчитанные константы, получим:

а)

б)

1. расчёт и построение графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля в сечении z=z₀от координаты x при y=0,5b в интервалена частотахи:

а)

, В/м

0, А/м

, А/м

б)

0, В/м

0, А/м

, А/м

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD14, где были построены графики данных зависимостей. Для случаярезультаты показаны на рис.2. Для случаярезультаты показаны на рис.3.

2. расчёт и построение графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля в сечении z=z₀от координатыyприx=0,2aв интервалена частотахи:

а)

, В/м

, А/м

, А/м

б)

, В/м

, А/м

, А/м

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD14, где были построены графики данных зависимостей. Для случаярезультаты показаны на рис.4-5. Для случаярезультаты показаны на рис.6-7.

3. расчёт и построение графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты zвдоль линииx=0,2a;y=0,2bв интервалена частотахи:

а)

, В/м

, А/м

, А/м

б)

, В/м

, А/м

, А/м

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD14, где были построены графики данных зависимостей. Для случаярезультаты показаны на рис.8-9. Для случаярезультаты показаны на рис.10-11.

В выражениях пп. 1а, 2а, 3а (м),(рад/с), z₀=0.114 (м),, а в пп. 1б, 2б, 3б(м),(рад/с), z₀=0.145 (м) и.

рис. 2 рис. 3

рис. 4 рис. 5

рис. 6 рис. 7

рис. 8 рис. 9

рис. 10 рис. 11