2.3. Построение дуальных схем.

Дуальными величинами, как известно, являются сопротивление и проводимость. Для каждой схемы электрического фильтра может быть найдена дуальная ей схема. При этом входное сопротивление первой схемы будет равно входной проводимости второй, умноженной на коэффициент . Важно отметить, что рабочая передаточная функция Т(р) для обеих схем будет одинаковой. Пример построения дуальной схемы показан на рисунке 2.3.

Такие преобразования часто оказываются удобными, так как позволяют уменьшить число индуктивных элементов. Как известно, катушки индуктивности, по сравнению с конденсаторами, являются громоздкими и низкодобротными элементами.

Нормированные параметры элементов дуальной схемы определяются (при=1):

2.4. Аппроксимация частотных характеристик.

На рисунках 2.1.1 – 2.1.3 представлены графики функций рабочего ослабления фильтра нижних частот (ФНЧ), фильтра верхних частот (ФВЧ), полосового фильтра (ПФ). На этих же графиках показаны уровни требуемого ослабления. В полосе пропускания f₀…f₁ задаётся максимально допустимое значение ослабления (так называемая неравномерность ослабления) ΔА; в полосе непропускания f₂…f₃ задаётся минимально допустимое значение ослабления A_S; в переходной области частот f₁…f₂ требования к ослаблению не предъявляются.

Прежде чем приступить к решению задачи аппроксимации производят нормирование требуемой характеристики рабочего ослабления по частоте, например для ФНЧ и ФВЧ:

Искомая аппроксимирующая функция должна удовлетворять условиям физической реализуемости и достаточно точно воспроизводить требуемую частотную зависимость рабочего ослабления. Существуют различные критерии оценки погрешности приближения, на которых основаны различные типы аппроксимации. В задачах аппроксимации амплитудно-частотных характеристик наиболее часто используют критерии оптимальности Тейлора и Чебышёва.

2.4.1. Аппроксимация по критерию Тейлора.

В случае применения критерия Тейлора искомая аппроксимирующая функция имеет следующий вид (нормированное значение):

, (2.16)

где - квадрат модуля функции фильтрации;

– порядок полинома (принимает целочисленное значение);

ε – коэффициент неравномерности. Его величина связана с величиной ∆А - неравномерностью ослабления в полосе пропускания (рис. 2.4). Поскольку на граничной частоте полосы пропускания Ω₁ =1, , следовательно

. (2.17)

Фильтры с частотными зависимостями ослабления (2.16) называются фильтрами с максимально плоскими характеристиками ослабления, или фильтрами с характеристиками Баттерворта, впервые применившего аппроксимацию по критерию Тейлора при решении задачи синтеза фильтров.

Квадрат модуля рабочей передаточной функции (нормированное значение)

. (2.18)

Порядок аппроксимирующей функции определяется на основании условия, что на граничной частоте полосы непропускания Ω₂ рабочее ослабление превышает минимально допустимое значение:

, откуда . (2.19)

Поскольку порядок полинома должен быть целым числом, получившееся значение

Рис.2.4. округляется до ближайшего большего

целого значения.

Выражение (2.18) представим в операторной форме, используя преобразование jΩ→:

Найдём корни полинома :, откуда

.

k = 1, 2, … , NБ (2.20)

Корни принимают комплексно-сопряжённые значения и располагаются на окружности радиуса. Для формирования полинома Гурвица надо использовать только те корни, которые располагаются в левой половине комплексной плоскости:

.

На рисунке 2.5 показан пример размещения в комплексной плоскости корней полинома 9-го порядка, имеющих отрицательную реальную составляющую. Квадрат модуля

Рис. 2.5. функции фильтрации, согласно (2.16), равен:

;

- полином с вещественными коэффициентами; - полином чётного порядка. Таким образом, условия физической реализуемости выполняются.