4.2. Расчёт к.П.Д. Машины Обербека при опускании груза

В данном исследовании требуется опытным путем найти потери энергии A_s и к.п.д. машины Обербека. Требуется также сравнить некоторые параметры движения с теми, какие могли бы реализоваться при условии выполнения закона сохранения механической энергии.

Для определения работы Аs (т.е. потерь энергии) из формулы (12) получаем:

А_s= mgh - Т_к , (14а)

где

Т_к=(14б)

Формула (14б) для кинетической энергии преобразуется с учётом , т.к. скорость груза равна скоростям всех точек нити вплоть до точкиВ на поверхности шкива (см. рис.2), а скорость этой точки определяется формулой Эйлера: , гдеr- радиус шкива. С учётом этой подстановки из (14б) получаем:

Т_к= (15)

Момент инерции относительно оси стержневой части машины равен:

J_р= 2J_ст + 4J_гр + J_шк , (16)

где J_ст= - момент инерции каждого стержня;

J_гр= - момент инерции каждого груза на стержнях;

J_шк= - момент инерции шкива, R- радиус 2-й ступени шкива.

Обозначения для расчёта по формуле (16) даны на рис.3. В установке применён двухступенчатый шкив с внешним радиусом R, который учитывается для расчёта момента инерции J_шк.

R

r

Рис.3.

Для определения скорости спуска груза в работе измеряется время спуска с высоты h. Груз движется под действием постоянных сил G и S₂ (см. рис.2). Следовательно, его ускорение а - постоянное. Учитывая, что груз начинает движение из состояния покоя, запишем:

(17)

,

где t - время спуска с высоты h.

Из формул (17) получаем:

(18)

Подставляя (18) в (15), запишем формулу для кинетической энергии машины Обербека в конце спуска груза:

Т_к=(19)

Теперь формула (14а) с учётом формулы (19) определяет потери механической энергии в машине Обербека.

Коэффициент полезного действия определяется формулой (13), если рассматривается только опускание груза, т.к. в этой формуле начальная запасённая энергия равна П_о= mgh, полезная работа равна кинетической энергии машины Т_к в конце спуска груза.

4.3. Расчёт к.П.Д. Машины Обербека при подъёме груза

После опускания груза на всю длину нити и короткой остановки он начинает подниматься вверх и останавливается (вместе со стержнями) на высоте h₁, меньшей, чем высота начального спуска h.

Начальную скорость для движения вверх центр масс груза получает под действием "рывка", т.е. кратковременного ( t  10^-2  10^-3 c) значительного увеличения силы натяжения нити. Однако сразу после "рывка" сила натяжения становится меньше силы тяжести, приложенной к грузу (S₂  G, см. рис.2).

Подъём груза на высоту h₁ обеспечивается наличием момента импульса и кинетической энергии вращающейся части машины Обербека. Кинетическая энергия Т^* ₀ в начале подъёма равна:

Т₀^* = Т_к - (20)

Здесь - скорость груза в конце предыдущего спуска;

- угловая скорость стержневой части машины;

Т_к - определяется формулой (19).

В формуле (20) учтено, что груз на упоре (внизу) остановился и в процессе неупругого столкновения с подставкой "потерял" свою кинетическую энергию.

Следовательно, механическая энергия машины в начальный момент подъёма равна:

Е_о^*= Т_о^*+П_о^* , (21)

где П_о ^*= 0.

Формула (21) показывает, что в данном случае начальной, запасённой энергией является кинетическая энергия машины. Эта энергия будет преобразована в потенциальную энергию груза на высоте h₁ и в потери А_s1 в процессе подъёма груза.

Учитывая (11), запишем:

Т_о^*+П_о^*=Т₁(t)+П₁(t)+A_s1 (22)

Груз в верхней точке останавливается: П₁(t) = mgh₁; Т₁(t) = 0 и формула (22) преобразуется к виду:

(23)

Потери энергии при подъёме и к.п.д. машины определяются формулами:

(24а)

(24б)