9. Важнейшие свойства общезначимых формул

Общезначимые формулы играют особую роль в логике: они на языке алгебры высказываний выражают законы логики. Общезначимые формулы истинны в силу своей структуры, независимо от истинностных значений состав­ляющих их формул. Например, для любой формулы А формульная схема АА принимает значение И неза­висимо от значения формулы А. В самом деле, если А = И, то дизъюнкция принимает значение И. Если же А = Л, то тогда А = И, а дизъюнкция АА опять принимает значение И. Рассмотренная формуль­ная схема выражает один из законов логики, известный под именем закона исключенного третьего (tertiutn поп datur).

Для утверждения «Формула Е общезначима» введем обозначение «╞ Е». По выше доказанному: ╞ АА. Последняя запись означает, что всякая получаемая из формульной схемы АА формула общезначима, но для краткости мы будем говорить, что формула АА общезначима в вышеуказанном смысле.

Докажем теперь важнейшие свойства общезначимых формул.

Предложение 2. Если Е — общезначимая формула, содержащая атомы Р₁, ..., Р_n, то формула Е*, получаю­щаяся из Е одновременной подстановкой формул А₁, ..., А_п вместо атомов Р₁, ..., Р_п соответственно, также общезначимая.

Предложение 3. Если ╞ А и ╞ А В, то ╞ В.

Предложение 4. ╞ A ~В тогда и только тогда, ко­гда А В.

Предложение 5. ╞ Е тогда и только тогда, когда Е — противоречие.

10. Важнейшие общезначимые формулы

Предложение 6. При любом выборе формул А, В, С нижеследующие формульные схемы представляют собой общезначимые формулы.

Схемы введения и удаления логических операторов:

1. A (B A)

2. (А В) ((A (В С)) (А С))

3. A (B A B)

4. A B A

5. A B B

6. A A B

7. B A B

8. (А C) ((B C) ( A B С))

9. (А B) ((A B) A)

10. A A

11. (А B) ((B A) ( A B ))

12. ( A B ) (А B)

13. ( A B ) (B A)

Выражение одних логических операций через другие:

14. ( A B ) (A B) (B A)

15. A B A B

16. A B (A B)

17. A B ( A B)

18. A B (A B)

19. A B ( A B)

20. A B A B

Коммутативные законы:

21. A B В А

22. A B В А

23. ( A B ) (В А )

Ассоциативные законы:

24. А (В С) (А В) С

25. А (В С) (А В) С

26. ( A ( B С )) (( A B) С)

Дистрибутивные законы:

27. А (В С) А В А С

28. А В С (А В) (А С)

29. А (В С) А В А С

30. А (В С) (А В А С)

31. А В С (А В) (А С)

32. А В С (А В) (А С)

33. А (В С) (А В А С)

Законы идемпотентности:

34. А А А

35. А А А

Законы поглощения:

36. А (А В) А

37. А А В А

Законы отрицания логических операций:

38. (А В) А В

39. (А В) А В (де Моргана)

40. (А В) А В (отрицания импликации)

41. (А В) (А В) (А В) (отрицания эквивалениции)

42. А А (двойного отрицания)

Законы традиционной логики:

43. А А (тождества)

44. А А (исключенного третьего)

45. (А А) (непротиворечия)

Другие часто употребляемые законы логики:

46. (А В) ((В С) (А С)) (силлогизма)

47. (А (В С)) (В (А С)) (перемены посылок)

48. А (В С) А В С (соединения разъединения посылок)

49. А (А В) (отрицания антецедента)

50. А В В А (контрапозиции).

Формулы (1) — (13) составляют одну из возможных полных, независимых аксиоматик логики высказываний. В то же время они являются одним из способов выражения важней­ших (и простейших) схем рассуждений.

Формулы (14) и (15) позволяют равносильным образом избавляться от эквиваленций и импликаций.

В связи с формулами (21) — (26) нужно обратить внимание на то, что импликация не является ни коммутативной, ни ассоциативной операцией. С некоммутативностью импликации, в частности, связано наличие у нее специальных имен для первого и второго членов — антецедент и консеквент. В силу коммутативности и ассоциативности операций конъюнкции, дизъюнкции (и эквиваленций) члены этих операций можно при равносильных преобразованиях произвольным образом объединять скобками в группы, производя при необходимости требуемые перестановки. Учитывая ассоциативность конъюнкции, дизъюнкции и эквиваленции, дополним соглашение об опускании скобок (см. п. 3) следующим положением: многочленные конъюнк­ции, дизъюнкции и эквиваленции писать без скобок, не указывая порядок выполнения операций.

Отметим еще, что из четырех бинарных операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции дизъюнкция и импликация дистрибутивны относительно трех остальных, конъюнкция дистрибу­тивна только относительно дизъюнкции, а эквиваленция не дистри­бутивна ни относительно одной из остальных операций (формулы (27) - (33)).

Общезначимость каждой из 50 формул предложе­ния 6 можно установить, например, составив истин­ностную таблицу для конкретной формулы после замены А, В, С на атомы Р, Q, R и убедившись в том, что послед­ний столбец каждой такой таблицы состоит только из одних И, после чего остается применить предложение 6 о подстановке вместо атомов. Конечно, можно сразу строить истинностную таблицу и с входами А, В, С.