Экзамен математика

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

1. Множество, операции над множествами. Числовые множества. Примеры.

2. Понятие Ɛ - окрестности точки. Числовые промежутки на координатной оси. Абсолютная величина, ее геометрический смысл, свойства абсолютных величин. Примеры.

3. Функции одной переменной. Способы задания функций. Полярная система координат. Параметрический способ задания функций.

4. Сложная функция. Неявно заданная функция. Примеры.

5. Простейшие свойства функций: четность, периодичность, монотонность, ограниченность.

6. Графики основных элементарных функций.

7. Предел функции: 2 определения (на языке «окрестностей» и «Ɛ – δ» - определение). Геометрический смысл. Примеры.

8. Единственность предела функции. (теорема)

9. Ограниченность функции, имеющий конечный предел в точке (теорема).

10. Односторонние пределы. Примеры.

11. Предел функции на бесконечных промежутках. Пример.

12. Бесконечно малые функции. Основные свойства (2 теоремы). Примеры.

13. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями (прямая и обратная теоремы). Основные свойства. Примеры.

14. Основные теоремы о пределах (леммы, теоремы о пределе суммы, произведения и частного). Примеры.

15. Признаки существования пределов (теоремы о предельных переходах в равенствах и неравенствах). Примеры.

16. I Замечательный предел. Пример.

17. Числовые последовательности (определение, свойства). II Замечательный предел. Пример.

18. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.

19. Эквивалентные бесконечно малые функции. Примеры.

20. Условия применимости эквивалентных бесконечно малых. Примеры.

21. Непрерывность функции в точке (3 определения). Пример.

22. Классификация точек разрыва. Примеры.

23. Свойства функций, непрерывных в точке (2 теоремы). Пример.

24. Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на отрезке (3 теоремы). Пример.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ

1. Определение производной. Пример.

2. Производные функций y=c, y=sinx, y=cosx, y=a^x, y=e^x, y=lnx, y=log_ax, y=x^a.

3. Определение дифференцируемости функции в точке. Дифференциал 1-ого порядка. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Пример.

4. Связь между дифференцируемостью и существованием производной в точке (теорема). Пример.

5. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью в точке. Пример.

6. Дифференцируемость на числовом промежутке. Пример.

7. Геометрической смысл производной и дифференциала. Пример.

8. Физический смысл производной и дифференциала. Пример.

9. Основные теоремы о производных. Пример.

10. Производные функций y=tgx, y=ctgx.

11. Производная обратной функции. Пример.

12. Производные функции y=arcsinx , y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

13. Производная и дифференциал сложной функции (теорема). Пример.

14. Инвариантность формы 1-ого дифференциала. Пример.

15. Дифференцирование функций, заданных неявно. Пример.

16. Логарифмическое дифференцирование. Пример.

17. Производные и дифференциалы высших порядков. Примеры.

18. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Пример.

19. Теоремы о среднем (Ферма, Ролля, Лангранжа, Коши). Пример.

20. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя (2 теоремы). Примеры.

21. Формула Тейлора (теорема). Остаточные члены. Пример.

22. Формула Маклорена для основных элементарных функций: , y=sinx, y=cosx, y=e^x, y=ln(1+x), y=(1+x)^m. (с выводом одной)

23. Признак монотонности функций. Пример.

24. Экстремумы: необходимые и достаточные условия существования экстремума (теоремы). Примеры.

25. Экстремальные значения функции на отрезке. Пример.

26. Выпуклость графика функции. Точки перегиба (определения и теорема). Пример.

27. Необходимые и достаточные условия существования точки перегиба (теоремы). Пример.

28. Асимптоты графика функции. Примеры.

29. необходимые и достаточные условия существования наклонных асимптот (теорема). Пример.