2 Непосредственный подсчёт вероятностей

Существуют события, вероятности которых можно определить из условий самого опыта, не производя его. Для этого необходимо, чтобы элементарные события, составляющие полную группу, были попарно несовместными и равновозможными. Для таких событий возможен непосредственный подсчёт вероятностей, основанный на оценке доли "благоприятных" случаев.

Вероятность события вычисляют по формуле, называемой "формулой непосредственного подсчёта вероятностей"

.

где N — общее число случаев, М — число случаев, благоприятствующих появлению события А.

Формулу  называют также классическим определением вероятности.

Так, найдём вероятность события появления герба при одном бросании монеты:

.

Задача 1.1. В ящике находится 10 бракованных и 15 стандартных изделий. Найти вероятность того, что извлечённая наугад деталь будет стандартной.

Решение. Общее число случаев — ; число случаев, благоприятствующих появлению стандартной детали —. Искомая вероятность равна

.

3 Относительная частота. Теорема бернулли

Существуют события, как например, "попадание в цель при выстреле" или "выход из строя радиолампы в течение одного часа работы", вероятности которых не могут быть вычислены по формуле . Для таких событий используют другие способы определения вероятностей, например, способы, связанные с проведением опыта (эксперимента).

Относительной частотой события называют отношение числа появлений этого события к числу всех произведенных опытов:

.

При неограниченном увеличении числа опытов с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно ожидать, что относительная частота события Q приближается к вероятности Р его появления в отдельном испытании.

Математическую формулировку этой закономерности ("устойчивости частоты") впервые дал Я. Бернулли в теореме, которая представляет собой простейшую форму Закона больших чисел и может быть записана в виде

.

Относительную частоту часто называют статистической вероятностью события.

Задача 1.2. По цели произведено 20 выстрелов, причём отмечено 18 попаданий. Найти относительную частоту попадания в цель.

Решение:

.

4 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий

На практике обычно требуется определить вероятности событий, непосредственное воспроизведение которых невозможно. В этом случае применяют методы, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других, более сложных событий, с ними связанных. При решении таких задач используют основные теоремы теории вероятностей.

Суммой двух или нескольких событий называют сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Для несовместных событий А_i условно пишут: , а также .

Теорема. Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

.

Следствие 1. Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Задача 1.3. В лотерее 1000 билетов, из них падает выигрышей: на один билет — 500 руб., на 10 билетов — по 100 руб., на 50 билетов — по 20 руб., на 100 билетов — по 5 руб. Остальные билеты — невыигрышные. При взятии случайным образом одного билета найти вероятности следующих событий:1) выиграть не менее 20 руб. и 2) выиграть любую сумму.

Решение. Обозначим события: В₁ — выигрыш не менее 20 руб.; В₂ — выигрыш любой суммы; А₁ — выигрыш 20 руб.; А₂ — выигрыш 100 руб.; А₃ — выигрыш 500 руб.; А₄ — выигрыш 5 руб. Согласно условию — ;. СобытияА_i несовместны, поэтому применима теорема :

;

.