5.10. Потенциальная энергия упругой деформации

Как было выяснено ранее, удельная потенциальная энергия упругой деформации определяется формулой

.

Рассмотрим случай чистого изгиба (M = const, Q = 0).

Имеет место линейное напряжённое состояние:

, σ₂ = 0, σ₃ = 0.

Найдем потенциальную энергию в элементарном объёме dV балки:

.

Если учесть, что ε₁ = σ₁/Е, то получим

.

Подставим сюда значение напряжения σ₁, а затем проинтегрируем по всему объёму балки:

.

Для выполнения интегрирования учтём, что

dV = dx ∙ dF.

Переходя к двум переменным, необходимо интеграл по объёму заменить двойным интегралом:

. (5.52)

Учтём при этом, что

. (а)

Подставляя значение (а) в выражение (5.52), окончательно получим

. (5.53)

Заметим, что в формулу (5.53) изгибающий момент входит в квадрате и поэтому величина потенциальной энергии всегда положительная.

Для балок, работающих при поперечном изгибе (Q  0, M = M(x)), потенциальная энергия сдвига (от действия касательных напряжений) как правило, на порядок и более меньше потенциальной энергии изгиба. Поэтому формулу (5.53), выведенную для случая чистого изгиба, распространяют и на случай поперечного изгиба, когда М = М(х):

. (5.54)

Глава 6. Сдвиг

1. Напряжения и деформации при чистом сдвиге

Чистым сдвигом называется такой частный случай плоского напряжённого состояния, при котором на площадках бесконечно малого элемента действуют только касательные напряжения (рис.6.1).

Рис. 6.1

Чистый сдвиг имеет место при работе ряда элементов конструкций. Так, мы встречались с этим напряжённым состоянием, когда рассчитывали на прочность балки при поперечном изгибе, – на нейтральной линии σ = 0 и τ = τ_max(см. п.5.8). Кроме того, в условиях чистого сдвига находится материал при резке ножницами (рис.6.2,а), при кручении круглого сплошного или трубчатого стержня (рис.6,2б), в заклёпочных (рис.6.2,в), болтовых и сварных соединениях.

а б в

Рис. 6.2

Определим напряжения по наклонным площадкам (рис.6.3). По формулам (3.9) и (3.10) при плоском напряжённом состоянии

σ_α=σ_xcos²α+σ_ysin²α–τ_xysin2α,

.

В нашем случае σ_x=σ_y= 0,τ_xy=τпоэтому получим

σ_α= –τsin2α, (6.1)

τ_α=τcos2α. (6.2)

При α = ± 45⁰  τ_α = 0 и σ_α =  τ, т.е. главные напряжения при чистом сдвиге (рис.6.3)

. (6.3)

Итак, главные напряжения – сжимающее и растягивающее – равны между собой и численно равны экстремальным касательным напряжениям.

Рис.6.3

Тот же самый результат можно получить, используя формулу (3.18) для определения главных напряжений при плоском напряжённом состоянии

Рассмотрим деформацию элемента (рис.6.4). Закрепляем одну из граней. Квадрат превращается в ромб , поскольку по граням элемента нет нормальных напряжений. В то же время диагональ , совпадающая с направлением σ₁, удлиняется, а диагональ – укорачивается.

Рис.6.4

∆S– абсолютный сдвиг (смещение граниab); γ– угол сдвига или относительный сдвиг.

. (6.4)

= ℓ – длина диагонали, , ∆ℓ – абсолютное удлинение диагонали,

. Относительное удлинение диагонали есть не что иное, как главное удлинение ε₁при плоском напряжённом состоянии, поскольку главное напряжениеσ₁действует в направлении диагонали .

.

Итак, при чистом сдвиге

. (6.5)

Теперь выразим ε₁черезσ, воспользовавшись обобщённым законом Гука для плоского напряжённого состояния (3.26)

. (6.6)

Приравняем правые части формул (6.5) и (6.6)

, .

Множитель перед γявляется коэффициентом пропорциональности между касательным напряжением и соответствием ему углом сдвига, и называетсямодулем сдвига или модулем касательной упругости:

. (6.7)

Для стали G= 8 ∙10³кН/см²илиG= 8 ∙ 10⁴МПа.

Модуль сдвига – это третья упругая постоянная изотропного упругого материала, выражающаяся через первые две (модуль нормальной упругости Е и коэффициент Пуассона ν) формулой (6.7).

Таким образом, закон Гука при сдвиге имеет вид

τ=Gγ. (6.8)

В аналогичной форме записывается этот фундаментальный закон и при линейном напряжённом состоянии – σ=Eε(см. формулу (2.9)), и при объёмном напряжённом состоянии:σ_cp=Kθ(см. формулу (3.36)).