Горлач Физика

Учитывая, что проекция скорости груза в процессе переброски остаётся равной υ01 вплоть до соприкосновения груза со второй платформой, из уравнения (2) получим

где υ02 и υ2 – скорости второй платформы до и после неупругого взаимодействия с грузом.

сторону противоположную оси Х, на что указывает знак проекции вектора υ2 на ось Х.

Проверим сохранение импульса для двух платформ и груза:

(m + mгр) υ01− m υ02 = m υ1−(m + mгр) υ2 ,

(400 +100) 2− 400 2 = 400 2,0−(400 + 100) 1,2; => 200 = 200. Изменение кинетической энергии данной системы тел

Знак “ – “ величины К означает, что в результате неупругого удара груза и второй платформ кинетическая энергия системы уменьшилась. Потенциальная энергия не изменилась, так как движение происходит в горизонтальной плоскости. Следовательно, часть механической энергии превратилась во внутреннюю энергию.

Пример 8. Два груза m1 = m2 = 0,50 кг связаны нитью длиной l = 36 см и надеты на стержень массой mст = 1,0 кг. Длина стержня lст = 60 см. Размерами грузов можно пренебречь. Ось вращения проходит перпендикулярно стержню через его середину (рис. 6). Когда система раскручивается вокруг оси до угловой скорости ω0 = 20 рад/с, нить разрывается и грузы перемещаются без трения на концы стержня. Считая, что действие внешних моментов сил с момента разрыва нити прекращается, найти конечную угловую скорость системы.

50

каждого из грузов относительно данной оси (см. рис. 5) выражаются

Ответ. Конечная угловая скорость ω2 = 10 рад/с.

Пример 9. На внешней поверхности барабана (рис. 7) закреп-

лён конец лёгкого троса. Другой конец троса с привязанным к нему грузом 50 кг лежит на земле. Момент инерции барабана 10 кг∙м2, его радиус 50 см. Барабан, поднятый на некоторую высоту, раскручивают относительно неподвижной оси и прекращают внешнее воздействие, когда трос натягивается, а угловая скорость достигает 10 рад/с. Определить максимальную высоту, на которую поднимется груз.

барабана в начале подъёма груза и П1 – потенциальная энергия груза на поверхности земли (П1 = 0); К2 = 0 (в конце подъёма) и П2 = mgh2.

51

Cпособ 2. Согласно теореме об изменении кинетической энергии

A = K,

где в данном случае А – суммарная работа внешних сил, действующих на систему барабан – груз, A = F s cosα; F = mg – сила тяжести;

s = h2; cos α = – 1.

Так как кинетическая энергия груза за время подъёма не изменилась (0 – 0 = 0), то изменение кинетической энергии данной

света в вакууме. Определить скорость υ1–2 и кинетическую энергию К1-2 одной из частиц в системе отсчёта, связанной с другой движущейся частицей.

Решение. Скорости электронов близки к скорости света и по модулю одинаковы: υ1 = υ2 = υ. Для расчёта скорости одной частицы относительно другой (υ1-2 = υотн) используем формулу (33) настоящего

полная энергия; Е0 = mc2 – энергия покоя; υ = υотн − скорость частицы в выбранной системе отсчёта; m − масса частицы (инвариант).

Кинетическая энергия электрона в данной системе отсчёта

K = E0 [ √1 1 c 2 − 1], − (υотн/ )

где υотн = 0,976с (получено выше)); Е0 = 0,511 МэВ – энергия покоя электрона (см. прил. 6).

К = 3,59Е0; К = 1,8 МэВ.

52

Задание 1. Кинематика материальной точки

1. Диск вращается вокруг своей оси согласно уравнению φ = 4 – 2t + 0,2t3, где φ – угол поворота, рад; t – время, с. Определить тангенциальное и нормальное ускорения точек диска на расстоянии 20 см от оси вращения через 3,0 с после начала отсчёта времени.

2.Материальная точка движется прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону υ =(1,0t² ) i , где υ – скорость, м/с; t –

время, с; i – единичный вектор. Найти зависимость ускорения от времени aх(t) и вычислить путь за первые 10 секунд движения.

3.Скорость прямолинейного движения тела изменяется по закону

υ= 0,50s2, где υ – скорость, м/с; s – пройденный путь, м. Найти ускорение в момент, когда скорость достигнет значения 2,0 м/с.

4.Движение материальной точки задано уравнениями х = 5,0t и y = 20 – 4,9t2, где х и y – координаты, м; t – время, с. Записать уравнение траектории точки и найти скорость и ускорение в момент времени t* = 1,0 c.

5. Скорость движения тела задана уравнением = (– t2 +16) i ,

где υ – скорость, м/с; t – время, с; i – единичный вектор. Найти начальную и конечную скорости тела в интервале времени от 0 до 3 с, а также перемещение тела за это время.

6.Мотоцикл разгоняется за 4 с до 209 км/ч. Скорость нарастает по

закону υ = k √t . Какое расстояние преодолевается за время разгона?

7.Какова средняя скорость тела в интервале от 0 до 6 с, если мгновенная скорость определяется уравнением υ = 20 + 4t + 3t², где υ – скорость, м/c; t – время, с?

8.Радиус-вектор материальной точки изменяется во времени по

9.Подъёмный кран, передвигаясь по горизонтальным рельсам со скоростью 0,5 м/с, одновременно поднимает груз вверх со скоростью 6 м/мин. Какова скорость груза относительно Земли?

10.Материальная точка движется по окружности радиуса R = 0,5 м против часовой стрелки согласно закону s = 2t, где s – пройденный путь; t – время движения, с. Записать уравнения движения x(t) и у(t),

учитывая начальные условия: x0 = 0,5 м; y0 = 0 при t0 = 0, и вычислить тангенциальное и нормальное ускорения точки в момент t* = 2 c.

53

Задание 2. Силы в механике. Законы Ньютона. Закон сохранения импульса

1.Груз массой 1,0 т, поднятый на тросе длиной 5 м, раскачался под действием ветра. В момент прохождения грузом нижней точки траектории скорость груза равна 1 м/с. Рассчитать силу натяжения троса.

2.Платформа массой 120 кг стоит на рельсах. Человек массой 80 кг прыгает с неё в горизонтальном направлении под углом 60° к рельсам со скоростью 2 м/с относительно Земли. Какой будет скорость платформы после того, как человек спрыгнет с неё?

3.Материальная точка масой 0,2 кг начинает двигаться под действием переменной силы F = 3t² , где F – сила, Н; t – время, с. Найти скорость точки в конце второй секунды движения.

4. Коленчатый вал автомобильного двигателя раскручен до 5000 об/мин. Скорость поршня при этом достигает 21,5 м/с. Найти среднее ускорение поршня. Оценить силу, обеспечивающую это ускорение, при массе поршня около 0,5 кг. Во сколько раз эта сила больше силы тяжести поршня?

5.Прямолинейное движение тела описывается законом s = 5t + 2t2,

где s – пройденный путь, м; t – время движения, с. Масса тела m = 10 кг. Найти силу F (в ньютонах), действующую на тело.

6.На всём пути экстренного торможения автомобиля массой 1500 кг действует сила трения, равная 17 кН. Какой может быть скорость машины, чтобы расстояние 10 м оказалось достаточным для её полной остановки?

7.Две платформы собственной массой по 400 кг катятся по инерции

платформ после того, как груз будет переброшен с одной на другую.

8.Автомобиль начинает двигаться по закруглению горизонтальной дороги радиусом R = 40 м с постоянным тангенциальным ускорением

aτ = 5,0 м/с2. Коэффициент трения между колесами машины и дорожным покрытием μ = 0,30. Какой путь пройдёт автомобиль без заноса?

9.Моторная лодка массой 200 кг приближается к причалу со скоростью 5 м/с. Сила сопротивления движению изменяется по закону

Fc = 100υ, где Fc – сила сопротивления, Н; υ – скорость, м/с. На каком расстоянии от причала надо остановить двигатель, чтобы причалить с безопасной для лодки скоростью (υ ≈ 0)?

54

10. Платформа длиной 6 м и массой 800 кг стоит на рельсах. С какой скоростью начнёт двигаться платформа, когда человек массой 90 кг пойдёт вдоль платформы со скоростью 2 м/с относительно Земли. На сколько сантиметров сдвинется платформа, когда человек перейдёт с одного конца на другой?

течение первых двух секунд.

2.Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить скорость тела от 2,0 до 6,0 м/c на пути 10 м. Масса тела 1,0 кг. На всём пути действует сила трения 2,0 Н.

3.Тело массой 5,0 кг падает в вязкой среде. Сила сопротивления

движению тела изменяется по закону F = 2,0√t , где F – сила, Н; t – время, с. Найти работу силы сопротивления в интервале 0 ≤ t ≤ 1,4 с.

4.Груз 1000 кг поднимается с ускорением 2 м/с2. Найти силу натяжения троса, на котором закреплён данный груз, и работу этой силы за первые три секунды подъёма.

5.Оценить скорость υ, с которой метеорит входит в атмосферу

Земли на высоте h = 50 км. Масса Земли МЗ = 6·1024 кг, её радиус RЗ = 6400 км. Скорость тела вдали от Земли принять равной нулю.

6.Найти работу деформации при неупругом лобовом столкновении легкового автомобиля с грузовиком. Массы автомобилей: m = 1,2 т

иM = 9,0 т; скорости до удара: υл = υг = 72 км/ч.

7.Под действием силы 100 Н скорость тела массой 40 кг увеличилась от нуля до 2,5 м/с. Найти время разгона, совершённую работу и приобретённую телом кинетическую энергию.

8.Проволока выдерживает нагрузку до 300 кг. На ней подвесили груз 150 кг. На какой наибольший угол можно отклонить проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась при возвращении в положение равновесия?

9.С поверхности Земли поднимают груз 500 кг с постоянным ускорением 1 м/с2. Найти работу, совершённую за первую минуту подъёма.

10.Пуля, летевшая горизонтально, попадает в дерево, углубившись на 10,0 см. Масса пули равна 10 г, её начальная скорость – 600 м/с. Найти силу сопротивления движению пули.

55

Задание 4. Момент инерции. Момент силы. Момент импульса

1.Шкив в виде диска радиусом 10 см и массой 1 кг обмотан закреплённой на нём нитью. К нити подвесили груз массой 0,2 кг и отпустили. Какой станет угловая скорость шкива через 2 с после начала вращения?

2.По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром 75 см и массой 40 кг приложена сила 1000 Н. Радиус шкива 12 см. Определить угловое ускорение и частоту вращения маховика через

10с после начала действия силы. Трением пренебречь.

3.Цилиндр массой 12 кг и диаметром 30 см вращается вокруг своей оси согласно уравнению ϕ = 4 – 2t + 0,2t3, где ϕ – угол поворота, рад; t – время, с. Определить момент сил, действующий на цилиндр, через 3 с после начала вращения.

4.Маховик в форме диска радиусом 30 см и массой 60 кг раскручен до частоты 3,0·103 об/мин. Какую минимальную силу надо приложить к ободу маховика, чтобы остановить его за 15 с?

5.На обод маховика диаметром 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз m = 2 кг. Маховик начинает вращаться равноускоренно под действием груза и за 3 секунды приобретает угловую скорость 9 рад/c. Определить момент инерции маховика.

6.Момент инерции автомобильного колеса относительно собственной оси равен 0,7 кг·м². Масса колеса 15 кг, радиус 30 см. Чему равен момент импульса колеса относительно горизонтальной оси, проходящей через точку касания с дорогой параллельно оси колеса при скорости автомобиля 100 км/ч?

7.Для определения момента инерции тела на его цилиндрическую поверхность радиусом 0,2 м намотали лёгкий шнур, к концу которого привязали груз массой 3 кг. Когда груз отпустили, он начал падать с ускорением 0,5 м/с2. Какое значение момента инерции получено в данном эксперименте?

8.Система состоит из двух концентрически расположенных колёс, соединённых между собой и с осью невесомыми спицами. Радиусы и

массы колёс: R1 = 20 см и m1 = 150 г; R2 = 50 см и m2 = 500 г. Вся система вращается с частотой 2,0 об/c. Какую минимальную силу следует приложить к внешнему колесу системы, чтобы остановить её за 10 с?

9.Колесо, имеющее форму сплошного диска, раскручивается силой

10Н, направленной по касательной. Радиус колеса 20 см, его масса

56

200 кг. Найти угловое ускорение колеса и время разгона до угловой скорости, соответствующей 15-ти оборотам в cекунду.

10. Движение маховика с моментом инерции 2 кг·м² описывается уравнением φ=t + t2 , где φ – угол поворота, рад; t – время, с. Найти угловое ускорение и момент импульса маховика через t* = 2 с после начала отсчёта времени.

Задание 5. Законы сохранения в механике твёрдого тела

1.Автомобиль приводится в движение маховиком, раскрученным на стоянке до частоты 200 об/c. Полагая, что средняя сила сопротивления движению равна 2,0 кН, а вся масса маховика 100 кг сосредоточена на внешнем ободе радиусом 0,30 м, вычислить путь, который может пройти автомобиль до полной остановки.

2.Горизонтальная платформа в форме диска (m1 = 100 кг; R = 1,5 м) вращается вокруг своей оси, совершая 10 оборотов в минуту. Человек

(m2 = 60 кг) стоит на краю платформы. Какой будет частота вращения, если человек перейдёт от края платформы к центру?

3.Стержень массой 2 кг и длиной 1 м подвешен на оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню. В конец стержня попадает пуля массой 10 г, летящая перпендикулярно оси и стержню со скоростью 500 м/с, и застревает в нём. Определить угловую скорость, с которой начнёт вращаться стержень.

4.Труба длиной h = 8 м падает из вертикального положения в горизонтальное. Считая, что нижний конец трубы не смещается, определить скорость верхнего конца в последний момент падения.

5.Для определения момента инерции колеса использовали маховик с известным моментом инерции 1 кг·м², вращающийся вокруг

вертикальной оси частотой ν1 = 2 об/с. Неподвижное колесо сверху одели на ось и уронили на маховик, после чего измерили частоту их

совместного вращения ν2 = 1 об/с. Какое значение момента инерции колеса получили данным способом?

6.Груз небольших линейных размеров свободно падает с высоты

20см на край однородного диска, вращающегося с частотой 1,6 об/с, и неупруго сталкивается с ним. Масса диска 3,0 кг, его радиус 40 см, масса груза 500 г. На сколько изменится механическая энергия системы в результате взаимодействия тел?

57

7.Найти относительную ошибку, которая получается при вычислении кинетической энергии диска, катящегося без проскальзывания, если не учитывать вращение диска.

8.Два горизонтально вращающихся один над другим диска расположены так, что плоскости их параллельны, а центры лежат на одной вертикали. Угловая скорость и момент инерции первого диска равны 10 рад/с и 2 гּ м², а второго диска – 5 рад/c и 4 гּ м². Первый диск падает на второй и сцепляется с ним. Рассчитать угловую скорость совместного вращения дисков и изменение кинетической энергии данной системы в результате взаимодействия тел.

9.Полная кинетическая энергия диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить: а) кинетическую энергию поступательного движения; б) кинетическую энергию вращательного движения диска.

10.Начальная скорость трубы, катящейся по горизонтальной

плоскости, υ0 = 4 м/с. На какое расстояние переместится труба до остановки, если коэффициент трения μ = 0,02?

Задание 6. Элементы релятивистской механики

1. Протон и нейтрон движутся навстречу друг другу со скоростями относительно Земли υп-З = υн-З. Найти отношение K п-н /K п-З , где

протона и нейтрона считать одинаковыми.

2.Частица движется со скоростью 0,6с. Найти отношение кинетической энергии частицы к её энергии покоя.

3.Два атомных ядра движутся навстречу друг другу со скоростями

с – скорость света в вакууме. Определить скорость υ1–2 сближения ядер по классической и релятивистской формулам.

4.Электрон, разгоняясь от скорости υ1 = 0, приобрёл кинетическую энергию в три раза превышающую его энергию покоя. Найти конечную скорость υ2 и работу А по ускорению электрона.

5.Электрон движется со скоростью υ = 2,7·108 м/с. Определить импульс частицы, а также кинетическую и полную энергии.

6.Какую долю скорости света υ/с составляет скорость частицы, когда её кинетическая энергия равна энергии покоя?

58

7.Ускоритель разгоняет атомное ядро до скорости υя-З = 0,4с, где с – скорость света в вакууме. На выходе из ускорителя ядро испускает в

направлении движения β-частицу со скоростью υч-у = 0,75с относительно ускорителя. Какова скорость частицы относительно ядра?

8.Найти скорость нейтрона, если его кинетическая энергия в 5 раз больше энергии покоя.

9.Вычислить импульс и кинетическую энергию протона, движущегося со скоростью 100 Мм/с.

10.Электромагнитное излучение, возникающее при распаде ядер, можно представить как поток частиц (γ-квантов). Средняя энергия отдельного кванта 1,35 МэВ. Найти импульс γ-кванта.

2. Электричество и магнетизм

Электричество

Пример 1. Два одинаковых по модулю точечных заряда,

расположенные на расстоянии 2r, сближаются по направлению к точке М (рис. 8) по дуге окружности радиуса r. Как изменяются напряжённость и потенциал электростатического поля в центре окружности (точка С), если:

Рассмотрим случай а (заряды разноимённые). На рис. 9 показаны направления векторов E , E1 и E2 , когда заряды находятся в исход-

ном (нижнем) положении. В проекции на ось х результирующая напряжённость поля данной системы зарядов равна арифметической сумме

E x = E1 + E2 .

Напряжённости Е1, Е2 и потенциалы φ1, φ2 полей, созданных соответственно зарядами q1 и q2 в точке С,

E1= 4 πε1 0 εqr12 ; E2= 4 πε1 0 εqr22 ; φ1= 4 πε1 0 εqr1 ; φ2= 4 π1ε0 εqr2 ,

59