7.2. Некоторые распределения (биноминальное, Пуассона, геометрическое, гипергеометрическое)

Биноминальное распределение. Случайная величина Х называется распределенной по биноминальному закону, если ее возможные значения  числа 0, 1, 2, …, n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

где , q=1 – p, 0 < p< 1.

Это распределение зависит от двух параметров: p и n. Например, случайная величина Х – число появлений “успеха” в n независимых испытаниях – имеет биноминальное распределение.

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения  числа 0, 1, 2, …, k, …, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Пуассона:

, где k = 0, 1, 2,…, λ > 0.

Распределение зависит от параметра λ. Распределение Пуассона является предельным для биноминального, если устремить значение параметра n к бесконечности и положить λ = np = const. Пользоваться формулой Пуассона вместо формулы Бернулли разумно, когда n велико, а вероятность p мала.

Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения  числа 0, 1, 2, …, k,… Соответствующие вероятности вычисляют по формуле

p+ q=1, где 0 < p < 1, k = 0, 1, 2,… .

Вероятности р_к образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q. Геометрическое распределение получается, если производится ряд независимых попыток получить некоторый “успех”. Вероятность “успеха” в каждом испытании равна р. Случайная величина Х – число испытаний до первого “успеха”. Геометрическое распределение зависит от одного параметра р. Иногда рассматривают случайную величину Y, равную числу испытаний до первого “успеха”, включая удавшееся. Вероятности значений величины Y:

, где k = 1, 2,… .

Такое распределение называют начинающимся с 1.

Гипергеометрическое распределение. Случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, a, b, если она может принимать значения 0, 1, 2, …a с вероятностями

, где k= 0, 1, 2, …, a; a + b  n  k; a, b, n  натуральные числа.

Гипергеометрическое распределение возникает, например, в такой ситуации. Имеется урна, в которой a белых и b черных шаров. Из нее вынимают наудачу n шаров. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров  имеет гипергеометрическое распределение.

Докажем, что сумма вероятностей значений случайных величин, имеющих биноминальное, пуассоновское, геометрическое и гипергеометрическое распределения, равна 1.

1. Равенство единице суммы биноминальных вероятностей было доказано в разделе 6.

2.

3.

4. Суммировать вероятности гипергеометрического закона нет необходимости, т. к. события Н_k = {Х = k}, k = 0, 1, 2, …, a образуют разбиение классического пространства элементарных исходов, в котором всего исходов. Поэтому сумма этих вероятностей равна 1.

7.3. Функция распределения дискретной случайной величины

Функцией распределения F(х) случайной величины Х называется функция числового аргумента х (<х < ), определяемая равенством

F(x) = р(Х <x).

Справа стоит вероятность события {случайная величина Х приняла значение меньше числа x}.

Непосредственно из определения вытекают следующие свойства функции распределения дискретной случайной величины:

1. 0  F(x)  1.

2. Если случайная величина Х не принимает значений, меньших a, то для всех x  a F(x) = 0.

3. Если случайная величина Х не принимает значений, больших b, то для всех x >b F(x) = 1.

4. F(x) – неубывающая функция. Действительно, пусть х₁ < х₂. Тогда событие {Х < х₂} есть сумма двух несовместных событий:

{Х < х₂} = {Х < х₁} + {х₁  Х < х₂}. Отсюда

5. Из хода доказательства свойства 4 сразу следует, что

6. Функция распределения непрерывна слева.

Чтобы найти значение F(x) для данной дискретной случайной величины Х, нужно рассмотреть все значения x_i случайной величины Х, которые меньше x, и сложить вероятности этих значений:

График функции F(x) представляет собой ступенчатую линию (рис. 7.1). Скачки функции F(x) в точках x = x₁, x₂,…, (x₁ < x₂ <…) равны значениям соответствующих вероятностей р₁, р₂,….

Рис.7.1