14. Задачи на составление дифференциальных уравнений
Задача о скорости размножения бактерий. Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий, в течение трех часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени.
Решение. Пусть N – количество бактерий в момент времени t. Тогда согласно условию
,
(36)
где k - коэффициент пропорциональности. Уравнение (36) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными и его решение имеет вид:
,
(37)
Из
начального условия известно, что
.
Следовательно,
и
.
Из
дополнительного условия
.
Тогда
,
,
.
Таким образом, для искомой функции получаем:
,
(38)
Задача об увеличении количества фермента. В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его начальному количеству x. Первоначальное количество фермента а в течение часа удвоилось. Найти зависимость x(t).
Решение. По условию задачи дифференциальное уравнение процесса имеет вид
,
(39)
где k – коэффициент пропорциональности. Общее решение уравнения (39) (уравнение с разделяющимися переменными) имеет вид:
,
(40)
Постоянную
С
найдем из начального условия
:
.
Тогда
,
(41)
Известно
также, что
.
Значит
,
отсюда
и окончательно имеем
,
(42)
3. Цель деятельности студентов на занятии:
Студент должен знать:
Определения производной и дифференциала функции.
Физический и геометрический смыслы производной.
Таблицу производных основных элементарных функций.
Правила дифференцирования.
Аналитический и геометрический смыслы дифференциала.
Понятия неопределенного и определенного интегралов.
Таблицу основных интегралов.
Основные свойства неопределенного и определенного интегралов.
Основные методы интегрирования.
Определение обыкновенного дифференциального уравнения.
Понятие общего и частного решений дифференциального уравнения.
Определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и алгоритм его решения.
Студент должен уметь:
1.Вычислять производные и дифференциалы функций.
2.Применять дифференциал функции в приближенных вычислениях.
3.Вычислять неопределенные и определенные интегралы различными методами.
4.Вычислять средние значения функций, площади плоских фигур, работу переменной силы.
5.Находить решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.