12. Понятие дифференциального уравнения

Уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у=f (x), а также ее производные у', у'', и т.д. называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Общий вид дифференциального уравнения:

F (x, y, y', y'',…, y⁽ⁿ⁾) = 0, (29)

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Например, у'+ху-5=0 – уравнение первого порядка, у''+6у'+х=0 – уравнение второго порядка.

Общий вид уравнения первого порядка:

F (x, y, y') = 0 , (30)

Общим решением дифференциального уравнения называется функция, удовлетворяющая двум условиям: во-первых, эта функция должна удовлетворять данному дифференциальному уравнению, т.е. при подстановке в уравнение должна обращать его в тождество; во-вторых, количество произвольных постоянных в этой функции должно быть равным порядку данного уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка имеет вид:

у = f (x, C₁, C_2,….,C_n) , (31)

а общее решение дифференциального уравнения I порядка

у = f (x, C) , (32)

Из общего решения путем вычисления постоянных интегрирования, исходя из заданных дополнительных условий, можно найти частные решения данного уравнения.

Дифференциальными уравнениями описывают различные процессы в физике, химии, биологии, фармации.

Из уравнений первого порядка рассмотрим уравнения с разделяющимися переменными.

13. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид у'=(х,у), причем его правая часть может быть представлена в виде произведения двух отдельных функций: . Тогда

Преобразуем это уравнение, разделив переменные справа и слева:

Общий вид уравнения с разделенными переменными

f (y)dy= (x)dx .

Уравнение решается непосредственным интегрированием: слева по переменной у и справа по переменной х с прибавлением постоянной интегрирования С:

или F (y)=Ф (х)+С.

Решая это уравнение, находим :

у=.

Таким образом, алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными следующий:

а) если уравнение содержит производную, то представить ее в виде;

б) преобразовать уравнение, перенося все члены его, содержащие у , в левую часть, содержащие х – в правую;

в) проинтегрировать по общим правилам левую часть по аргументу у и правую – по аргументу х с прибавлением постоянной интегрирования С.

г) решая полученное уравнение, найти искомую функцию.

Пример16. Найти общее решение уравнения y'=2xy и частное решение, соответствующее условию

y=2 при x=0, (33)

Решение. Представим производную y' в виде отношения дифференциалов:

.

Разделим переменные:

;

Проинтегрируем полученное уравнение:

ln y=x+C.

Так как в уравнение входит lny, то постоянную удобнее выразить в виде логарифма:

lny=х+lnC

lny- lnС=x

ln=х

Потенцируя это равенство, получим:

Отсюда , и для общего решения имеем

у=Се, (34)

Для нахождения частного решения подставим начальное условие (33) в (34):

, т.е. С=2 и искомое частное решение будет иметь вид

, (35)