Метод интегрирования по частям

Этот метод основан на использовании следующей формулы интегрирования по частям:

, (24)

где и- непрерывно дифференцируемые функции на отрезке.

Пример 12. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Данный интеграл не может быть вычислен непосредственно ни методом разложения, ни методом замены переменной. Положим . Найдем отсюда. Тогда

11. Некоторые приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур

Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур основано на геометрическом смысле определенного интеграла: площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f (x), осью абсцисс и прямыми линиями x=a и x=b , численно равна определенному интегралу от этой функции на отрезке :

.

Если плоская фигура ограничена прямыми x=a , x=b (a<b) и кривыми y=f₁(x) , y=f₂(x) , причем f₁(x)<f₂(x) (a<x<b) , то ее площадь вычисляется по формуле:

, (25)

В частном случае, когда плоская фигура ограничена снизу осью OX, формула (25) упрощается:

, (26)

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (рис.5) и.

Рис.5

Решение. Найдем точки пересечения кривых : , следовательно. Отсюда ,и по формуле (25) имеем

Работа переменной силы

Сравнивая формулу (4) с формулой (5) для определенного интеграла, приходим к выводу, что работа переменной силы f(x), действующей на материальную точку при перемещении ее из точки x=a в точку x=b, численно равна определенному интегралу от этой силы на отрезке :

, (27)

Пример 14. Найти величину работы, которую необходимо совершить для растяжения пружины от положения равновесия на величину l=0,1 м, если коэффициент упругости пружины k=200 Н/м.

Решение. В соответствии с законом Гука для растяжения пружины на величину x необходимо приложить силу f(x)=kx.

Подставляя это выражение в (27) , получим зависимость работы А приложенной силы от растяжения l пружины:

.

Подставив в эту формулу численные значения, окончательно получим:

.

Нахождение средних значений функций

Средним значением функции f(x) на конечном отрезке называется величина, определяемая соотношением:

, (28)

Пример 15. Найти среднее значение функции на отрезке .

Решение. В соответствии с формулой (28) имеем:

.