Метод интегрирования по частям

Пусть u(x) и υ(x)- непрерывно дифференцируемые функции на некотором промежутке. Тогда дифференциал их произведения равен

d(u υ)=udυ+υdu, (16)

Проинтегрируем (16) по x . Имеем

uυ =υ+υdu

откуда

υ=uυ-υdu, (17)

Равенство (17) называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет нахождение одного интеграла свести к нахождению более простого интеграла.

Пример 7. Найти . Положимu=arctgx. Тогда du=, υ=и по формуле интегрирования по частям получим:

Пример 8. Найти ; Положимu=lnx , dυ=xdx.

Тогда du= υ=и по формуле интегрирования по частям будем иметь

.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

8.Задача о нахождении площади криволинейной трапеции

Пусть дана неотрицательная функция y=f (x), график которой изображен на рис.3.

Рис.3

Выберем на оси OX точки a и b и восставим из них перпендикуляры до пересечения с кривой. Фигура, ограниченная кривой, перпендикулярами и осью OX, называется криволинейной трапецией. Вычислим площадь этой трапеции. Для этого разобьем отрезок наn частичных отрезков точками

.

Внутри каждого отрезка длинывыберем произвольную точкуk . Составим произведения ,…

Каждое такое произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой, равной значению функциив произвольной точке соответствующего отрезка. Сумма таких произведений

(18)

называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке и равна площади всех прямоугольников.

Если каждый из отрезков достаточно мал, т.е. и т.д., то площадь заштрихованной области (рис.3) стремится к площади криволинейной трапеции, равной

, (19)

Таким образом, задача о вычислении площади криволинейной трапеции сводится к определению предела интегральной суммы (18) .

9. Задача о вычислении работы переменной силы

Пусть материальная точка единичной массы перемещается из точки a в точку b оси OX под воздействием переменной силы, направленной вдоль оси OX (т.е., сила является функцией x: у=f(x)). Требуется найти работу A этой силы.

Разобьем отрезок произвольно наn частей точками (рис.4)

.

Рис.4

При достаточно мелком разбиении можно считать, что на каждом отрезкевеличина силыf(x) почти постоянна и приближенно равна ее значению в некоторой точке k; f(x)для любых точекЄ.

Работа силы на каждом отрезкетогда будет приближенно равна, где, а работа силы по перемещению массы вдоль всего отрезкабудет приближенно равна

, (20)

Значение работы A будет тем точнее, чем мельче будет разбиение. Поэтому для получения точного значения работы переменной силы на всем отрезке необходимо перейти к пределу при

(21)

Таким образом, и для вычисления работы переменной силы необходимо уметь определять предел интегральной суммы (18).

Функция f(x) на отрезке называетсяинтегрируемой, если существует такое число I, к которому стремится интегральная сумма (1) при .Тогда число называетсяопределенным интегралом функции на отрезкеи обозначается

;

- область интегрирования, называется нижним пределом интегрирования,- верхним пределом интегрирования. Из сказанного следует, что

, (22)

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции и работы переменной силы связано с нахождением определенного интеграла.