5. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях

Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях основано на использовании формулы (9), которая справедлива при достаточно малых приращениях аргумента функции . Если в этой формуле приращениепредставить в виде, а дифференциал в виде, то будем иметь:

,

откуда

, (12)

Формулу (12) можно использовать при нахождении приближенных значений функций.

Пример 3. Найти приближенно значение функции

для значения ее аргумента, равного 16,02.

Решение. Найдем производную данной функции:

и подставим в формулу (12):

.

Положим , а. Тогда

.

6. Понятие неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале(a,b) , если она дифференцируема на этом интервале и в каждой его точке

F´(x)=f(x), (13)

Например, первообразными функции 4x³ являются функции x⁴ и x⁴+6, так как

(x⁴)^'=4x³ и (x⁴+6)'=4x³

Заметим, что вообще, если F(x) первообразная f(x) , то F(x)+C , где C - произвольная постоянная, также является первообразной f(x) , так как

(F(x)+C)^'=F^'(x)=f(x), (14)

Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) . Он обозначается символом

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx- подынтегральным выражением.

Если F(x) - какая-нибудь первообразная функции f(x), то

(15)

где C - произвольная постоянная. Нахождение неопределенного интеграла

называется интегрированием функции f(x). Чтобы найти интеграл, надо выполнить действия, обратные дифференцированию.

Основные свойства неопределенного интеграла

1.

2.d

3.;

4.;

5.;

6.;

где k - постоянный множитель, отличный от нуля.

Таблица основных интегралов

1.;

2. ,

3.;

4.; (a> 0, a)

5.;

6.;

7.;

8.;

9.;

10.;

11.;

7. Методы интегрирования

На практике при вычислении неопределенных интегралов их стараются свести к табличному виду различными методами. Рассмотрим некоторые из них.

Метод разложения (непосредственного интегрирования)

Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции с использованием свойств неопределенного интеграла в линейную комбинацию основных табличных интегралов.

Пример 4.

Метод замены переменной

Пример5 . Пусть требуется найти интеграл , гдеa

Введем переменную t=ax+b ; Тогда dt=adx , откуда dx= , Таким образом

Возвращаясь к переменной x , окончательно имеем

.

Пример 6. Найти . Положимt=x; Тогда dt=2xdx , откуда xdx=; таким образом