11.3 Шредингер теңдеуін шешу мысалдары

11.3.1 Бірөлшемді шексіз терең потенциалдық шұңқырдағы микробөлшектің күйі.

Массасы m бөлшек Ох осі бойымен ғана қозғалсын. Бөлшектің қозғалысы шұңқырдың қабырғаларымен шектеулі, қабырғалардың координаталары x=0 және x=L. Мұндай өрістегі бөлшектің потенциалдық энергиясы 11.1 - суретте көрсетілген. Бөлшектің функциясых координатасына ғана тәуелді болғандықтан, Шредингердің (11.4) стационарлық теңдеуі мына түрде жазылады

(11.5)

Бөлшек шұңқырдан шыға алмайды, сондықтан жәнеаймақтарда. Пси-функцияның үздіксіздік шартынан шығатыны, шұңқырдың шекараларында ол нөлге тең болуы қажет

11.1 сурет

. (11.6)

Шекаралық шарт - (11.6) теңдеуі (11.5) теңдеуіне қосымша. Шұңқырдың шектерінде (бұл аймақта ) (11.5) өрнегі мына түрде жазылады

. (11.7)

Бұл теңдудің шешімін табу дегеніміз, бөлшектің (знергетикалық спектр) толық энергиясының мүмкін мәндерін және осы мәндерге сәйкес келетінтолқындық функциясын табу.

Жоғарыдағы (11.7) теңдеуі – тербелістер теориясындағы белгілі теңдеу. Ол (11.6) шартты энергияның мына мәндерінде қанағаттандырады

, (11.8)

мұндағы - бүтін сандар.

Бұл нәтиже микробөлшектің потенциалдық шұңқырдағы энергетикалық спектрі дискретті және бөлшек энергиясы квантталатынын көрсетеді. Ал энергияның кванттық мәндері- энергия деңгейлері, n-бас кванттық сан деп аталады.

Бөлшектің меншікті функциясы (11.8) өрнегіне сәйкес,

, . (11.9)

Нормалау (11.2) шартынан коэффициенті табылады,

11.2 сурет

және (11.9) өрнегі мына түрде жазылады

. (11.10)

Бөлшектің потенциалдық шұңқырдағы энергетикалық деңгейлері 11.2 –суретте (а), сонымен қатар функциясының сызбасы (б) және координатасых нүкте айналасында бөлшектің болуының (в)- ықтималдық тығыздығының сызбалары келтірілген.

Кванттық және классикалық бөлшектердің айырмашылықтары 11,2- суретте сипатталған. Классикалық бөлшек шұңқырда кез-келген энергияға ие бола алады және шұңқыр түбіндегі тыныштықтағы бөлшек үшін . Ал кванттық бөлшек спектрі дискретті, оның ең аз энергиясыn=1 мәніне сәйкес келеді және ол нөлге тең болмайды. Кванттық бөлшек тыныштықта боуы мүмкін емес. Классикалық бөлшек шұңқырдың кез келген нүктесінде болу ықтималдығы бірдей. Кванттық бөлшектің, мысалы ең төменгі n=1 энергетикалық деңгейде шұңқырдың ортаңғы бөлігінде болу ықтималдығы ең жоғары болады, ал шұңқырдың шет жағында кез-келген деңгейде бөлшектің табылу ықтималдығының тығыздығы нөлге тең.

11.3.2 Туннельдік эффект.

Туннельдік эффект – классикалық физиканың заңдарына қайшы келетін, кеңістіктің аймақтарынан микробөлшектердің өтіп кетуі. Бөлшектің (бірөлшемді) х осі бойымен тікбұрышты қарапайым потенциалдық тосқауылдан өтуін қарастырамыз (11.3 суретті қара). Егер бөлшектердің толық энергиясы потенциалдық тосқауылдыңбиіктігінен аз болса, онданүктесінде ол шағылады. Шредингер теңдеуінен шығатыныаймақта бөлшектің бөгеттен өту ықтималдығынөлден өзгеше. Бөгеттің сол жағында түскен және шағылған толқын, ал оң жағында тек өткен толқын болады. Бөгет ішінде -функциясы толқындық сипатта болмайды, ықтималдылық экпоненциалды кемиді.