Типовые задачи

Задача №1. Найти область определения функции

.

Решение.

Ответ: .

Задача № 2. Найти область определения функции

.

Решение.

Ответ: .

Задача № 3. Найти множество значений функции

.

Ответ: ,, если

Задача № 4. Представить сложные функции в виде суперпозиции функций, являющихся основными элементарными функциями.

а)

–промежуточные аргументы.

б)

–промежуточные аргументы.

Дополнительные примеры

в)

г)

Задача № 5. Построить графики функций:

а)

б)

в)

Решение.

а)

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс.

б)

в)

Равномерное осевое растяжение в 3 раза графика

Задача № 6. Для функции найти обратную. Построить графики данной и найденной функций.

Решение.

Обратная функция

Задания для самостоятельного решения:

1. Найти области определения функций, заданных формулами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

2. Найти множество значений функции:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. ;

   5. ;

   6. ;

   7. .

3. Построить графики функции:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. ;

   5. ;

   6. ;

   7. ;

   8. ;

   9. ;

4. Представить сложные функции в виде суперпозиции функций, являющихся основными элементарными функциями:

1) ;

2) .

Занятие 10. Предел числовой последовательности и функции.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Определение предела функции при .

2. Определение предела функции при .

3. Односторонние пределы.

4. Определение предела числовой последовательности.

5. Свойства бесконечно малых величин.

6. Связь между бесконечно малыми величинами и пределами.

7. Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин.

8. Теорема о пределе суммы.

9. Основные теоремы о пределах.

Типовые задачи

Задача №1. Найти .

Решение.

;

Задача №2. Найти и.

Решение.

; ;

;

Задача №3. Найти .

Решение.

; ;

Задача №4. Найти .

Решение.

;

Задача №5. Найти .

Решение.

, так как степень многочлена, стоящего в

знаменателе больше степени многочлена числителя.

Задача №6. Найти пределы:

а)

б)

в) .

Задача №7. Найти .

Решение.

Задача №8. Найти .

Решение.

Имеем неопределенность . Так какявляется корнем числителя

и знаменателя, многочлены иделятся без

остатка на . Тогда

Задача №9. Найти .

Решение.

.

Задача №10. Найти .

Ответ: 2.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найти пределы:

; ;.

; ;.

; ;.

Занятие 11. Вычисление пределов функций.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Бесконечно малые функции и их свойства.

2. Бесконечно большие функции и их свойства.

3. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

4. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые.

5. Теорема об эквивалентных бесконечно малых.

6. Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых.

Типовые задачи

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Задача №1. Сравнить бесконечно малые величины с величинойх

при .

Решение.

; значит, 10х и х – бесконечно малые одного порядка

–бесконечно малая высшего порядка

–бесконечно малая низшего порядка

–

Задача №2. Определить порядок малости относительно х при :

а) ; б)

Решение.

; ; при

;

при

Задача №3. Доказать, что при бесконечно малые функциии

Эквивалентны.

Решение.

; значит при.