Задачи для самостоятельного решения:

1. Найдите отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей положительные и равные отрезки на осях координат.

3. Через середину отрезка АВ проведите плоскость, отсекающую на оси 0х отрезок и на оси 0у отрезок , еслии.

4. Три грани тетраэдра, расположенного в первом октанте, совпадают с координатными плоскостями. Составьте уравнение четвертой грани, если длина ограничивающих её ребер

5. Вычислите один из двугранных углов, образованных плоскостями:

1. 

2. 

3. 

6. Приведите к нормальному виду уравнение плоскости:

   1. б)

в) г)

д) е)

7. Найдите расстояние от начала координат до плоскости

8. Найдите расстояние от точки до плоскости

9. Найдите высоту пирамиды , вершины которой находятся в точках,,,

10. Найдите расстояние между плоскостями и.

11. На оси 0z найдите точку А, равноудаленную от начала координат и от плоскости

12. Составьте уравнение плоскости, параллельной плоскости и отстоящей от неё на расстоянии 7 ед.

13. При каком значении В плоскости ибудут взаимно перпендикулярны?

14. Найти величину острого угла между плоскостями:

1. 11x – 8y – 7z – 15 = 0 и 4x – 10y + z – 2 = 0;

2. 2x + 3y – 4z + 4 = 0 и 5x – 2y + z – 3 = 0.

Решение:

1) Воспользовавшись формулой, получаем

2. Можно заметить, что выполняется условие перпендикулярности плоскостей, т. к. 25 + 3(-2) - 41 = 0. Следовательно, плоскости взаимно перпендикулярны;  = 2.

15. Найти величину острого угла между плоскостями:

1. x = y – 2z + 5 = 0 и 2x + 3y + z – 2 = 0;

2. 2x – 2y + z = 0 и z = 0.

Занятие 8. Понятие множества и операции над множествами.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Дать определение множества, примеры, пустое множество.

2. Операции, выполняемые над множествами: объединение, пересечение, разность.

3. Декартово произведение множеств, примеры.

Типовые задачи

1. Множества и операции над ними.

Задача № 1. Записать (задать) следующие множества:

1) Множество натуральных чисел, меньше 6;

2) Множество натуральных чисел, меньших 0;

3) Множество целых числе, больших 20;

4) Множество натуральных чисел, делящихся на2; на 5;

5)Множество действительных чисел, не превосходящих по абсолютной величине 2;

6) Множество рациональных чисел, больших –3.

Решение.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задача № 2. Являются ли верными следующие утверждения:

Решение.

1) Верно, так как 2 является элементом множества .

2) Неверно, т. к. множество, состоящее из элемента не является элементом множества.

3) Верно, т. к. множество содержит элемент.

4) Верно, т. к. 6 > 5.

5) Верно, т. к. 6 – натуральное число, и 6 > 5.

Задача № 3.Установить вид отношений между множествами А и В (равенство, включение):

1) А – множество всех равносторонних треугольников;

В – множество всех треугольников, имеющих два угла величиной в 60⁰.

2)

Решение.

1) , так как, если два угла у треугольника равны 60⁰, то третий угол так же 60⁰и тогда треугольник является равносторонним.

Наоборот, если треугольник равносторонний, то два его угла равны 60⁰каждый.

2) Так как все числа, кратные 6, содержатся среди чисел, кратных двум, то . Обратное неверно, например,, нот. е..

Задача № 4. Пусть А – множество всех точек плоскости, у которых ордината положительна, В – множество всех точек плоскости, у которых абсцисса положительна. Описать множества

Решение.

1) – множество точек с обеими положительными координатами

– 1-й координатный угол.

2) – множество точек, у которых хотя бы одна координата положительная.– вся плоскость без 3-го координатного угла.

3) – 2-й координатный угол.

В данном случае в качестве универсального множества Uвыступает множество всех точек плоскости. Тогда, т. е. множество точек с неположительной ординатой, т. е. нижняя полуплоскость с осью абсцисс.

4) – множество всех точек плоскости, у которых хотя бы одна координата неположительная (это вся плоскость без первой четверти).

5) – 3-я четверть с полуосями.

Задача № 5. С помощью диаграмм Эйлера-Венна убедиться, верны ли следующие равенства:

1) ;

2)

Решение.

Строим для левой и правой частей проверяемого равенства диаграммы самого общего вида, т. е. все множества должны иметь попарно непустые пересечения и ни одно не должно включаться в другое.

Заштрихованные двойной штриховкой части диаграмм, соответствующие множествам, стоящим в обеих частях проверяемого равенства, совпадают. Это позволяет сделать вывод о равенстве этих множеств.

Рис. 1