Задачи для самостоятельного решения:

1. Построить прямые: а) б); в); г).

2. Дано общее уравнение прямой . Написать: а) уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках на осях.

3. Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая .

4. Прибыль от продажи 50 шт. некоторого товара составляет 250 руб., 100 шт. -1000 руб. Определить прибыль от продажи 500 шт. товара при условии, что функция прибыли линейна.

5. Даны точки А(0;0) и В(-3;0). На отрезке АВ построен параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке О(0;2). Написать уравнения сторон диагоналей параллелограмма.

6. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(4;-5) и параллельных осям координат.

7. Написать острый угол между прямыми: а) ; б); в); г).

8. Прибыль от продажи некоторого товара в двух магазинах выражается функциями и, гдеx– количество товаров в сотнях штук, аy– прибыль в тысячах рублей. Определить, начиная с какого количества товара более выгодной становится продажа во втором магазине.

9. Показать, что прямые ипараллельны, и найти расстояние между ними.

10. Найти длину высоты АDв треугольнике с вершинами А(5;2), В(2;3) и

С(0;-3).

Занятие №7. Плоскость.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Общее уравнение плоскости.

2. Уравнение плоскости по трем точкам.

3. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

4. Построение плоскостей и особенности их расположения.

5. Уравнение плоскости по трем точкам.

6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

Типовые задачи

Задача № 1. Указать особенности расположения плоскостей. Построить плоскости:

1)

2)

3)

4)

5)

Указания к решению:

1. установить, проходит ли плоскость через начало координат;

2. указать вектор нормали и сделать вывод, каким из координатных осей (плоскостей) возможно параллельна плоскость;

3. если плоскость не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям, то она – «плоскость общего положения» и строится по трем точкам – её точка пересечения с координатными осями;

4. если плоскость параллельна какой-нибудь координатной плоскости, то она строится с помощью параллельного переноса.

Рассмотрим остальные случаи расположения плоскостей:

в) x + 2y – 4 = 0

Решение.

Плоскость не проходит через начало координат. Плоскость параллельна оси 0z. Её проекция на плоскость 0xy – прямая x+2y-4=0.Построим её. Плоскость получается движением прямой x+2y-4=0 параллельно оси 0z. Плоскость y + 3z = 0 строится аналогично. Она проходит через ось 0х.

Плоскость x - y - 2z = 0 проходит через начало координат. Она строится по двум прямым, полученным её пересечением с координатными плоскостями: и .

Задача № 2. Составить уравнение плоскости, проходящей:

1)через точку С(3,4,-5) параллельно векторам и

2) параллельно оси 0х через и

3) через ось 0z и А(-3,1,-2).

Задача № 3. Построить плоскости, заданные уравнениями:

1) х + z - 1 = 0; 2) Зх + 4у + 6z - 12 = 0.

Решение.

1) Плоскость х + z - 1 = 0 параллельна оси 0у; она пересекает плоскость 0xz по прямой х + z = 1, отсекая на осях 0х и 0z отрезки, равные 1 (рис. 1).

Рис. 1 Рис. 2

2) Общее уравнение плоскости Зх + 4у + 6z — 12 = 0 перепишем в виде:

Зx + 4у + 6z = 12, т. е. Эта плоскость отсекает на осях Оx, Оу, Oz отрезки, равные 4, 3, 2 соответственно (рис. 2).

Самостоятельная работа:

Вариант 1: - x + 2y – z = 0 и y + 3z – 1 = 0;

2x – y + z – 1 = 0 и - 4x + 2y – 2z – 1 = 0.

Вариант 2: x - y + 1 = 0 и y + 3z – 1 = 0;

2x – y + z – 1 = 0 и - 4x + 2y – 2z – 1 = 0.

Указание: найти нормальные векторы и исследовать их на компланарность. Если они не компланарны, найти угол между ними, если да – выбрать на одной из плоскостей точку и найти расстояние от точки до плоскости.