Типовые задачи

1. Вычисление скалярного произведения векторов.

Задача 1. Определить скалярное произведение векторови

Решение.

Задача 2. Даны вершины треугольника А(2; 3; -1),B(4; 1; -2),C(1; 0; 2). Найти:

1. Внутренний угол при вершине С.

2. Проекцию вектора СВ на вектор СА.

3. Орт вектора СВ.

Решение.

;

;

1.

2.

3.

Задача 3. Проверить, могут ли векторы:

1. быть ребрами куба

2. найти третье ребро.

Решение.

1. Да, т.к. ,.

2. ,,

2. Вычисление векторного произведения векторов.

Задача 4. Векторыиобразуют угол;. Найти.

Решение.

= 6.

Задача 5. Даны точки А(3; 1; -1),B(2; 4; 3),C(4; 5; 3). Найти координаты.

Решение.

=.

Задача 6. НайтиS_ABC, еслиA(3; 0; -3),B(5; 2; 6),C(1; 2; 0).

Решение.

,.

кв.ед.

3. Вычисление смешанного произведения векторов

Задача 7. Даны векторы,,. Вычислить.

Решение.

= -24-14+30=- 8

Задача 8. Проверить компланарны ли векторы:

а)

б)

Решение.

а) Найдем смешанное произведение векторов :

.

Следовательно, векторы не являются компланарными.

б) Найдем смешанное произведение векторов :

.

Следовательно, векторы являются компланарными.

Задача 7. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой

A(3; 2; 4),B(1; -2; 1),C(7; 9; 4),D(5; 4; 3).

Решение.

.

Найдем координаты векторов

куб.ед.

_{Задачи для самостоятельного решения:}

1. Определить угол между векторами и

_{2. Найти длины сторон и углы треугольника с вершинами А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1).}

3. Показать, что четырехугольник с вершинами A(-5; 3; 4),B(-1; -7; 5),C(6; -5; -3),D(2; 5; -4) – квадрат.

4. В треугольнике АВС с вершинами А(1; 1;-1), B(2; 3; 1),C(3; 2; 1) найти:

1. длины сторон,

2. внутренние углы,

3. острый угол между медианой BDи стороной АС.

5. Определить при каком значении mвекторыивзаимно перпендикулярны.

6. Даны векторы ,,. Найти проекцию векторана вектор.

7. Даны вершины треугольника А(1;2;1), В(3;-1;7), С(7;4;-2). Показать, что этот треугольник равнобедренный.

8. Даны векторы ,. Найти

1)

2)

9. Дано: A(2;3;-5),B(-1;4;-6),C(5;-3;1). Вычислить длину высоты, опущенной из В на АС.

10. Даны векторы ,,. Вычислить смешанное произведение данных векторов.

11. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой

A(1;2; 3),B(0;-1; 1),C(2;5;2),D(3;0;-2).

Занятие 6. Прямая на плоскости.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Общее уравнение прямой на плоскости.

2. Нормальное уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов нормального уравнения прямой.

3. Уравнение прямой в отрезках. Геометрический смысл коэффициентов уравнения прямой в отрезках.

4. Направляющий вектор прямой.

5. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

6. Параметрическое уравнение прямой.

7. Каноническое уравнение прямой.

8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициентов.

9. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Типовые задачи

1. Уравнение прямой на плоскости.

Задача 1. Указать особенности расположения прямых. Построить прямые:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение.

1) Прямая общего вида.

Для построения прямой достаточно знать координаты двух ее произвольных точек. Полагая , получим. Имеем одну точку. Полагая, получим. Имеем вторую точку. Строим точки А и В и проводим через них прямую.

Можно использовать уравнение прямой в отрезках.

Из уравнения получим, т.е.. Здесь 2 и -4 отрезки, отсекаемые на осях Оxи Оyсоответственно.

Задача 2. Определить при каком значениипрямая:

1. параллельна оси ОХ

2. проходит через начало координат

Решение

1) Прямая параллельна оси ОХ при

2)Прямая проходит через начало координат при.

Задача 3. Уравнение прямойпредставить в различных видах.

Решение

- Уравнение с угловым коэффициентом

- уравнение прямой в отрезках

- нормальное уравнение прямой.

Задача 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точки

1)

2)

Решение

1) , т.е.или

2) , т.к., тоили

Задача 5. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору.

Решение.

Задача 6. Написать уравнение прямой, параллельной векторуи отсекающей на осиOYотрезок равный 6.

Решение.

Задача 7. Написать уравнение прямой, проходящей через точкуи перпендикулярно прямой, соединяющей точкии.

Решение.

Координаты нормального вектора .

Уравнение прямой

Задача 8. Найти угол между прямыми:

1) и;

2) и;

3) и;

4) и.

Решение.

1) Воспользуемся формулой .

Находим ,.

2) Воспользуемся формулой

Находим ,

Находим ,.

4)