Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Задача №5. Найти решение системы методом обратной матрицы:

Решение.

Здесь , так что матрица А невырожденная и искомое решение имеет вид.

.

Отсюда

Задача №6. Решить систему уравнений матричным методом:

Решение.

Находим:

т.е. – решение данной системы.

_{Задачи для самостоятельного решения:}

Решить системы уравнений методом Крамера и методом обратной матрицы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений.

2. Понятие решения системы линейных алгебраических уравнений.

3. Определение совместной и несовместной системы.

4. Достаточное условие совместной системы.

5. Определение однородной и неоднородной системы.

6. Определение ранга матрицы.

7. Алгоритм решения неоднородной системы линейных уравнений методом Гаусса.

8. Алгоритм решения однородной системы линейных уравнений.

Типовые задачи

Задача №1. Решить систему методом Гаусса:

Решение.

В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

исходная система свелась к ступенчатой:

Поэтому общее решение системы:

Если положить, например, , то найдем одно из частных решений этой системы ;.

Задача №2. Решить систему методом Гаусса:

Решение.

Произведем элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы:

.

Полученная матрица соответствует системе

Осуществляя обратный ход, находим

Задача №3. Решить систему методом Гаусса:

Решение:

.

Наличие противоречивой строки говорит о несовместности системы линейных уравнений.

Задача №4. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных. Система имеет единственное решение, т.е. нулевое (тривиальное):

Задача №5. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и меньше числа неизвестных (3<4). Система имеет бесконечно много решений. Получим систему:

Если положитьтои получиличастное решение исходной системы.

Задачи для самостоятельного решения:

_{I. Решить системы линейных уравнений:}

_1.

2.

3.

4.

5.

6.

II. Найти решение системы линейных уравнений в зависимости от параметра:

1.

2.

_3.

Занятие 5. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов..

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Дать определение скалярного произведения векторов.

2. Перечислить свойства скалярного произведения векторов.

3. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

4. Приложения скалярного произведения для нахождении.

5. Какое произведение векторов называется векторным?

6. Перечислить свойства векторного произведения.

7. Какие приложения имеет векторное произведение в геометрии и механике?

8. Записать условие коллинеарности (параллельности) векторов.

9. Какое произведение векторов называется смешанным?

10. Перечислить свойства смешанного произведения. Его геометрический смысл.

11. Как выражается смешанное произведение через координаты?