Задачи для самостоятельного решения:

1. Исследовать функции:

1) ;

2) ;

3) .

2. Определить наибольшее значение функции на интервале.

Занятие 16. Общая схема исследования функции и построения

её графика

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Определить точки экстремума (максимума и минимума) функции, экстремальные значения функции, абсолютные экстремумы (наибольшие и наименьшие значения).

2. Сформулировать необходимый признак экстремума. Привести примеры, показывающие, что он не является достаточным.

3. В чем состоит достаточный признак экстремума?

4. Изложить схему исследования функции на экстремумы.

5. Как отыскиваются наибольшее и наименьшее значения функции на данном интервале?

6. Дать определение выпуклости и вогнутости линии и точки перегиба.

7. Сформулировать теорему о связи между характером изогнутости линии и знаком второй производной от функции.

8. В чем состоит достаточный признак для точек перегиба?

9. Что называется асимптотой данной линии?

10. Описать общую схему исследования функции.

Типовые задачи

Задача № 1. Построить график функции.

Решение.

1). Функция существует всюду, кроме точки , т. е. на интервалах. Найдем предельные значения на границе существования:

(1)

(2)

Из условий (1) и (2) видно, что прямая является вертикальной асимптотой. Найдем k и b:

Таким образом, при играфик функции асимптотически приближается к прямой

Найдем точки пересечения графика с осями координат. При . График проходит через точкуПоложимтогда,откудаГрафик функции проходит через точкииНа рис. 1 построена простейшая кривая, удовлетворяющая всем результатам исследования.

2)..

Найдем корни числителя:

. Корни комплексные сопряженные, следовательно, числитель ни при каких значенияххв ноль не обращается. Знаменатель равен нулю прих = 2, но в этой точке функция не определена. Отсюда следует, что функция не имеет экстремумов. Это исследование не изменило первоначальный набросок графика, но доказало его правильность.

Покажем ещё, что и перегибов эта функция не имеет. Т. е. что возрастание и убывание происходят плавно, без изгибов.

3). Критических точекIIрода нет;при, кривая вогнута внизна интервале,

при, на интервалекривая вогнута вверх.

Задача № 2. Исследовать функциюи построить её график.

Решение.

1). Функция не определена лишь при и. Следовательно, область определения состоит из трех интервалов:, два из которых являются бесконечными.

2). При стремлении аргумента к концам промежутков области определения соответственно получаем

3). Находим производные данной функции:

.

Поскольку прии, то функция возрастает в интервалахи. Так какприи, то функция убывает в интервалахи.

Поскольку прии, то– точка максимума. Других критических точек нет, ибоне определена только прии, но в этих точках не определена и сама функция.

4). Вычисляем значение максимума функции

5). Посколькуприи, то график функции является выпуклым вниз в интервалахи.

Так как при, то график функции является выпуклым вверх в интервале.

Точек перегиба график данной функции не имеет, ибо вторая производная в нуль нигде не обращается им не определена в тех же точках, в которых не определена и сама функция.

6). График функции не пересекает ось 0х, так как уравнениене имеет действительных корней. Если(уравнение оси 0у), то, в точкеграфик пересекает ось 0у.

7). Из п. 2 следует, что график функции имеет две вертикальные асимптоты ии горизонтальную асимптоту. Последнее вытекает также из того, чтои

Заметив ещё, что прии,при, строим график функции (рис. 2).

Задача № 3. Построить график функции.

Решение.

1). Функция существует всюду на интервале . Функция является четной, так как для неё выполнено условие:

.

График симметричен относительно оси ординат, поэтому достаточно вести исследование функции только для . Определим значение при:

.

Вычислим k:

.

Следовательно, наклонной асимптоты кривая не имеет.

Найдем точки пересечения с осями координат. При График функции проходит через точкуПоложимтогда. График не пересекает ось 0х.

На рис. 3 изображена простейшая кривая, удовлетворяющая всем условиям проведенного исследования.

2). . Критическими точками являются точки.

(3)

подставив значения в, получим.

В точке функция достигает максимума, в точках– минимума. Вычислим экстремальные значения функции,Очевидно, что кривая на рис. 3 не удовлетворяет условиям исследования 2, она имеет один экстремум – минимум, график функции имеет два минимума и один максимум. На рис. 4 дан уточненный вариант графика.

3). Найдем критические точки IIрода, приравняв к нулю правую часть выражения (3):

.

Очевидно, что при переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно, точкиявляются точками перегиба.

Кривая на рис. 4 уже удовлетворяет этим требованиям.