§4.1.4. Сумма и произведение линейных операторов

Суммой двух линейных операторов иназывается оператор, для которого.

Теорема. Если и– линейные операторы, действующие в линейном пространствеV, то +– также линейный оператор, действующий вV. ЕслиАиВ– матрицы линейных операторов ив базисее, то матрица суммы этих линейных операторов в базисееравнаА + В.

Доказательство. Непосредственно проверяется. ■

Произведением линейного операторана элементиз поляKназывается операторh = , для которого.

Теорема. Еслилинейный оператор, действующий в линейном пространствеV / K, то Kоператор– также линейный. Матрица линейного операторав базисееравна матрице линейного операторав этом базисе, умноженной на.

Доказательство. Непосредственно проверяется. ■

Теорема. МножествоU всех линейных операторов, действующих в линейном пространствеV размерностиnнад полем K, относительно введенных действий сложения и умножения на элемент поля K образует линейное пространство над полем K размерностиn².

Доказательство проводится непосредственной проверкой всех аксиом линейного пространства. ■

Произведением линейных операторов и, действующих в линейном пространствеV/K, называется операторg=, для которого. Определим также.

Теорема. Если илинейные операторы, действующие в линейном пространствеV/K, то– также линейный оператор. Матрица линейного операторав базисееравна произведению матрицыАлинейного операторана матрицуВлинейного оператора.

Доказательство.()(е) =(Ае) =Ае = АВе()(е) = АВе.■

Для ненулевого многочлена f(t) = значение многочлена от линейного оператора f(А) = ,где– тождественное отображение.

Теорема. Гамильтона-Кэли. Линейный оператор является корнем своего характеристического многочлена.

Теорема была доказана для матриц. Здесь мы переформулировали ее для линейных операторов. ■

Упражнения

1. Найдите матрицы линейных операторов +ив базисе b₁,b₂, если матрицав базисеа₁=(-3; 7),а₂= (1; -2) имеет вид, а матрицав базисеb₁= (6; -7),b₂= (-5; 6) имеет матрицу.

2. Докажите, что линейное пространство всех линейных операторов, действующих в одномерном линейном пространстве, одномерно.

3. Линейное пространство всех функционалов, действующих в линейном пространствеХ/K,т.е. линейно отображающихX в K, называетсясопряженным с пространствомХ. Докажите, что сопряженное линейное пространствоизоморфно линейному пространствуХ.

4. Говорят, что ненулевой многочлен f(t) = аннулирует оператор А,еслиf(А) = . Докажите, что для любого линейного оператора, действующего вn-мерном линейном пространстве, существует аннулирующий многочлен степени.

5. Пусть m(t) – многочлен наименьшей степени среди всех многочленов, аннулирующих линейный оператор A. Докажите, что m(t) делит любой другой многочлен, аннулирующий линейный оператор A.

6. Докажите, что многочлен m(t) определен линейным операторомАединственным образом с точностью до умножения на постоянный ненулевой множитель. Многочленm(t) со старшим коэффициентом 1 называетсяминимальным многочленомлинейного оператораА.

7. Линейный оператор Аназываетсянильпотентным, если существует натуральное число q, для которого A^q =. Наименьшее число q, для которого A^q =, называетсяиндексом нильпотентности линейного оператора А. Докажите, что индекс любого нильпотентного линейного оператора, действующего вn-мерном линейном пространстве, не превосходитn.

8. Найдите минимальный многочлен для оператора проектирования, для оператора отражения, для нильпотентного оператора индекса q.

9. Докажите, что любые два многочлена от одного линейного оператора перестановочны.

10. Докажите, что если линейные операторы А иВ перестановочны, то и любые многочленыf(A) и g(A)от этих операторов перестановочны.

11. Докажите, что произведение линейных операторов А иВ тогда и только тогда невырождено, когда каждый из операторовА иВ невырожден. При этом.

12. Докажите, что для невырожденного линейного оператора А и любой константы

.

13. Докажите, что невырожденные линейные операторы, действующие в линейном пространстве Х/K, являются автоморфизмами, т.е. изоморфизмамиХ на себя.

14. Докажите, что невырожденные линейные операторы, действующие в линейном пространстве Х/K, образуют мультипликативную группу.