§4.3.4. Корневое подпространство

Определение. Подпространство линейного пространства называетсяинвариантным относительно линейного оператора , если линейный операторэлементы подпространства отображает в элементы этого же подпространства.

Теорема. Множество всех корневых векторов линейного пространстваV/K, принадлежащих одному собственному значению линейного оператора, образует подпространство линейного пространстваV, инвариантное относительно линейного оператора.

Доказательство. Для доказательства первой части теоремы достаточно проверить все аксиомы линейного пространства.

Если (-)^hc=, то (-)^h (с) =((-)^hc) =() =, т.е. еслис– корневой вектор, то ис – тоже корневой вектор, принадлежащий тому же собственному значению. ■

Обозначим через множество всех корневых векторов линейного пространстваV/K, принадлежащих собственному значениюлинейного оператора. – корневое подпространство, принадлежащее собственному значениюлинейного оператора.

Теорема. Пусть₁, ... ,_m – все попарно различные собственные значения линейного оператора, действующего в линейном пространствеV/KТогда линейное пространствоVесть прямая сумма корневых подпространств:

V= ... (2)

Доказательство. Так как₁, ... ,_m – все различные собственные значения линейного оператора, то его характеристический многочлен имеет вид:

(х) = (х-₁)... (x-_m)

и многочлены

₁(х) = (x-₂)(x-₃)... (x-_m),

₂(х) = (x -₁)(x-₃)... (x-_m),

_m(х) = (x -₁)(x-_m -₂)(x-_m)

взаимно простые. По теореме о линейном представлении НОД существуют многочлены v₁(x), ...,v_m(x) изKx, для которых

₁(x)v₁(x) + ... +_m(x)v_m(x) = 1 или₁()v₁() + ... +_m()v_m() =.

Для любого элемента a из линейного пространстваV получим

₁()v₁()a + + _m()v_m()a = a.

Введем обозначения:

₁()v₁()a = a₁, , _m()v_m()a = a_m.

Тогда a = a₁+ ... +a_m. Так как (-_i)_i () =(), а по теореме Гамильтона-Кэли линейный оператор() – нулевой, то

( - _i )a_i = ,

т.е. , 1  i  m  V  + ... + 

 V= + ... + .

Предположим, что y₁ + ... +y_m =, y_i  , 1  i  m. Тогдау₁ =, ..., y_m =. В противном случае получаем противоречие с тем, что ненулевые векторыy₁,, y_m линейно независимы. Из единственности представления нулевого вектора в виде суммы элементов из подпространств следует, что сумма прямая. ■

Замечание. Из доказательства следует, что если

(х) = (х-₁)... (x-_m) ,

то

V = Ker( -₁)  Ker( -₂)  Ker( -_m).

Упражнения

1. Докажите, что сумма и пересечение подпространств, инвариантных относительно линейного оператора , также инвариантны относительно.

2. Докажите, что ядро и образ линейного оператора, действующего в линейном пространстве, инвариантны относительно .

3. Докажите, что линейные операторы  и – имеют одни и те же инвариантные подпространства, –любое число.

4. Докажите, что если линейный оператор  невырожден, то и ^-1 имеют одни и те же инвариантные подпространства.

5. Пусть с– корневой вектор линейного оператора, принадлежащий собственному значению и имеющий высотуh > 0. Докажите, что линейная оболочка для векторов

( - )^{h –1}c, ( - )^{h –2} c, ..., ( - )c

является инвариантным подпространством линейного оператора .

6. Докажите, что корневое подпространство линейного оператора  является инвариантным подпространством любого линейного оператора, перестановочного с.