Упражнения и задачи

1. Доказать, что если то классвобратим.

2. Доказать, что кольцо классов вычетов по простому модулю без делителей нуля, а по составному модулю - с делителями нуля.

3. Решить уравнение по модулю 13.

4. Решить уравнение по модулю 12.

5. Составить таблицы сложения и умножения по модулю 15.

§1.1.14 Решение сравнений

Пусть – многочлен с целыми коэффициентами.Решить сравнение– это значит найти все значения переменнойх, удовлетворяющие этому сравнению.

Если сравнению удовлетворяет какое-либо значение переменнойх, то этому сравнению удовлетворяют и все числа, сравнимые спо модулют, т.е. все числа, составляющие один класс вычетов по модулют, которому принадлежит. Договоримся считать, что каждый класс образует одно решение. Следовательно, решить сравнение – значит найти все классы чисел, удовлетворяющих сравнению.

Пример1.Путем испытания наименьших неотрицательных вычетов найти решения сравнения

Решение:

Ответ:решениями сравнения являются все числа видаи

Пример2.Решить сравнение

Решение:

х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	0	2	4	6	8	10	12	14	1	3	5	7	9	11	13

Ответ:11.

Другое решение основано на использовании теоремы Эйлера :

Можно к обеим частям сравнения прибавить число 15. Тогда .

Пример.Решить сравнение.

Решение: После сокращения на 5 получим . Сравнение имеет следующие решения:,

.

Пример.Решить систему сравнений

Решение системы сводится к решению каждой из трех систем:

В первой системе ,,.

Аналогично, решая остальные системы, получим ответ: илиили.

Пример.Решить систему сравнений

Решение: ,.

Ответ: .

Упражнения и задачи

1. Решить сравнения:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

2. Решить систему:

а) б)

Контрольная работа №1 по теме “Целые числа”

I вариант

1. Найдите каноническое представление числа:

а) 92772757 ; б) 40!.

2. Найдите наибольший общий делитель систем чисел:

а) 105369 и 4991 (по алгоритму Евклида);

б) 216270, 192329 и 178178 (через каноническое представление).

3. Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:

а) 720 и 1512 (по формуле);

б) 96, 64 и 20 (через каноническое представление чисел).

4. Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n= 343343.

5. Дано: (n) = 3600,n=. Найдитеn.

6. Найдите две последние цифры числа 17⁶¹.

7. Решите сравнение:

а) , б).

8. Решите систему сравнений:

9. Докажите, что если , то наибольший общий делитель чиселиравен либо 1, либо 2.

10. Докажите, что делится на 10.

II вариант

1. Найдите каноническое представление числа:

а) 97363981 ; б) 19!.

2. Найдите наибольший общий делитель систем чисел:

а) 62510 и 23731 (по алгоритму Евклида);

б) 454532, 174820 и 82287 (через каноническое представление).

3. Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:

а) 180 и 504 (по формуле);

б) 28, 22 и 44 (через каноническое представление чисел).

4. Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n= 225225.

5. Решите уравнение: () = 2500.

6. Найдите две последние цифры числа 7¹¹⁴.

7. Решите сравнение:

а) , б).

8. Решите систему сравнений:

9. Докажите, что если , то наибольший общий делитель чиселиравен либо 1, либо 19.

10. Найдите наибольшее трехзначное число, при делении которого на 4 получается в остатке 3, при делении на 5 в остатке 4, при делении на 6 в остатке 5.