Упражнения и задачи

1. Выписать приведенную систему вычетов наименьших неотрицательных вычетов по модулю 15.

2. Выписать приведенную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 16.

3. Показать, что числа 13, -13, 29, -9 составляют приведенную систему вычетов по модулю 10.

4. Показать, что числа 11, -1, 17, -19 составляют приведенную систему вычетов по модулю 8.

§1.1.12 Теорема Эйлера

Теорема.Еслито

Доказательство:Пусть числаобразуют приведенную систему вычетов по модулют. Тогда числавсе взаимно просты сти попарно не сравнимы по модулют. Числопопадает в один класс вычетов с каким-тоиз чиселЧислопопадает в один класс с другим числомно из этого же множества, т.е. имеем сравнения

... ...

Здесь числа - те же числа, записанные, может быть, в другом порядке. Поэтому после перемножения сравнений можно записать

Откуда

Что и требовалось доказать. ■

Малая теорема Ферма. Для любых целых чиселаи простого числар

Доказательство:Поэтому, еслиане делится нар, то по теореме Эйлера

откуда следует, что

Если аделится нар, тооткуда и получим сравнение■

Пример.Найти остаток от деленияна 101.

Решение: По малой теореме Ферма , 101 – простое число;.

Ответ: 49.

Пример.Доказать, что числоделится на 45.

Решение: По теореме Эйлера . После возведения в пятую степень получим.

Упражнения и задачи

1. Проверить теорему Эйлера при

а) б)в)

2. Найти остатки от деления нана 11.

3. Найти остатки от деления нана 12.

4. Найти последние две цифры числа

5. Доказать, что при любом целом п

6. Если то

§1.1.13 Кольцо классов вычетов

Множество всех классов вычетов по модулю тобозначаетсяилиВведем на этом множестве операции сложения классов и умножения классов.

Суммой классовиназывается класст.е. класс, содержащий число

Произведениемклассовиназывается класс, т.е. класс, содержащий число.

Эти определения корректны, так как сумма любых двух представителей классов ивсегда попадает в один и тот же класс, содержащий числоАналогичное утверждение имеет место и для произведения.

Действительно, если тоследовательно,ит.е.

Таким образом, определения суммы и произведения классов не зависят от выбора представителей классов.

Пример: Таблица сложения и умножения по модулю 6.

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

x	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Теорема.Относительно введенных действий сложения и умножения классов множество– ассоциативное, коммутативное кольцо с 1.

Доказательствозаключается в проверке аксиом кольца. ■

Теорема.Кольцо классов вычетов по простому модулю – поле.

Доказательство:Пустьр– простое число,Тогдаи по теореме ФермаОтсюдат.е. обратным к классуявляется классМы получили, что любой ненулевой классвимеет обратный, а это означает, что– поле. ■