Упражнения и задачи

1. Доказать, что для любых вещественныххиу.

2. При каком положительном целом

3. Найти показатель степени числа 3 в каноническом представлении числа 100!.

4. Сколькими нулями оканчивается число 100!?

5. Разложить на простые множители 15!.

6. Найти количество целых положительных чисел, не превосходящих 2311 и взаимно простых с числами 5, 7, 12.

7. Решить систему уравнений

§1.1.8 Функция Эйлера

Функция Эйлера определена для всех натуральныхаи представляет собой количество натуральных чисел, взаимно простых саи не превосходящиха, Считаем, что

Примеры.

Теорема.Если каноническое представление натурального числаимеет вид:

то

Доказательство:Применим метод включения и исключения:

Раскрыв скобки в произведении, мы получим эту же сумму. Отсюда следует утверждение теоремы. ■

Упражнения и задачи

1. Найти значение функции Эйлера для чисел:

а) 375; б) 990; в) 1400; г) 1890.

2. Дано: Найтиа.

3. Дано: гдеpиq- различные простые числа. Найтиа.

4. Решить уравнение

5. Доказать, что

6. Найти х, если:

а) б) в) г)

7. Решить уравнение

8. Если то(свойство мультипликативности). Доказать.

9. Доказать, что

§1.1.9 Сравнения

Если при делении на целое положительное число тдва числааиbдают один и тот же остаток, то они называютсяравноостаточными илисравнимыми по модулют. Записывается это так:

Свойства сравнения:

1. (рефлексивность);

2. если то(симметричность);

3. если то(транзитивность).

Теорема.тогда и только тогда, когда существует целое числоt, для которого

Доказательствонеобходимости. Пусть, тогдаоткуда

Обозначив черезtи получим представлениеав виде

Доказательство достаточности. Пусть иТогдат.е. числоадает тот же остаток при делении нат, что и числоb.Теорема доказана. ■

Теорема.тогда и только тогда, когдаa-bделится нат.

Доказательство проводится аналогично. ■

Свойства сравнений, подобные свойствам равенств:

1. Если тот.е. сравнения можно почленно складывать.

Доказательство: По условию тогдаа это значит, что

2. Если тот.е. сравнения можно почленно перемножать.

Доказательство: следовательно,т.е.

3. Если , тодля любого целого числаk.

Доказательство: . Отсюда

4. Если ,то.

Доказательство: По условию делится нат;kитвзаимно просты. Из теоремы Евклида следует, чтоa-b делится нат, а это равносильно тому, что.

Пример: Установить признак делимости на 11.

Решение: Представим число Nв виде, где. Так как. То. Отсюда,N делится на 11 тогда и только тогда. Когда на 11 делится

Упражнения и задачи

Доказать свойства сравнений:

1. Слагаемое, стоящее в одной части сравнения, можно переносить в другую часть, меняя знак на противоположный.

2. К обеим частям сравнения можно прибавить число, кратное модулю.

3. Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же натуральную степень.

4. тогда и только тогда, когда

5. Если взаимно просты, то

6. Если m=НОК(),, то

7. Если , то

8. Если ,тделится наd, то

9. Если пнечетно, то

10. Если р- простое число, то

11. Если р- простое число, то

12. 

13. 

14. Установить признаки делимости на 3; 9; 101; 1001; 7; 13; 99; 33; 999; 27; 37.

15. Найти остаток от деления на 11 числа .

16. Найти остаток от деления на 1000 чисел .