§1.1.6 Основная теорема арифметики кольца целых чисел

Теорема.Любое натуральное число, отличное от 1, можно представить в виде произведения простых чисел и притом единственным образом с точностью до порядка следования сомножителей.

Доказательствотеоремы существования проведем методом полной математической индукции по числуп.

База индукции. Простое число мы рассматриваем как произведение простых чисел, состоящее из одного множителя. Поэтому для простых чисел утверждение теоремы существования верно и, в частности, для числа 2.

Гипотеза индукции. Предположим, что утверждение теоремы верно при всех k, для которых

Право перехода. Обозначим через pнаименьший целый положительный отличный от 1 делитель числап. Ясно, чтоp– простое число иЕслито утверждение теоремы верно. Еслито кможно применить предположение индукции, так какТогда, а следовательно ипможно представить в виде произведения простых чисел. Теорема существования доказана.

Доказательство теоремы единственности проведем методом от противного. Пусть для некоторого натурального числа пимеется два представления в виде произведения простых чисели пустьПредположим, чтоТогдаи произведениеделится наПо теореме Евклида отсюда следует, чтоделится наПовторяя рассуждения при предположенииполучим, чтодолжно равняться одному из чиселИзменив нумерацию, можно добиться того, чтоИтак, мы имеем равенство:

где

Отсюда

Вновь повторяя рассуждения, получим Равенствоневозможно, т.е.Предположениеприводит к такому же противоречию. Остается лишь одна возможностьИтак, представления оказались тождественны. Теорема доказана. ■

В разложении числа пна простые сомножители некоторые простые числа могут повторяться. Собирая одинаковые сомножители в степени, получимканоническое представление числап:

Из основной теоремы арифметики следует, что все делители числа пможно записать в виде

где

Из этой теоремы также вытекает и второй способ нахождения НОД и НОК. Предположим, что числа аиbпредставлены в виде:

Здесь к каноническому представлению числа априписаны в нулевой степени те простые числа, которые входят в каноническое представление числаb, но не входят в представление числаа. Соответственно то же проделано с каноническим представлением числаb. Тогда

Упражнения и задачи

1. Найти каноническое представление чисел 100, 128, 2000.

2. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 2000 и 128.

3. Пусть p– простое число. Доказать, что еслиане делится наp,bне делится наp, то иabне делится наp.

4. Разложить на множители число

5. Найти все числа вида 135xy, делящиеся на 45.

6. Доказать, что если каноническое представление числа имеет вид , то

а) число его делителей ;

б) сумма его делителей .

7. Найти сумму и число делителей числа 700.

§1.1.7 Целая часть числа

Функция определена для всех вещественных значенийхи представляет собой наибольшее целое, не превосходящеех. Эта функция называетсяцелой частью х, антье от х.Разностьназываетсядробной частью хи обозначается

Пример.

Теорема.Показатель, с которым простое числоpвходит вn! равен

Доказательство:Сомножителей, кратныхp, в произведенииравноСреди них, кратныхравно■

Задача.Найти количество чисел, взаимно простых с 3, 5 и 7, среди первой тысячи чисел натурального ряда.

Решение:Вычтем из 1000 количество чисел, делящихся на 3, т.е.затем вычтем количество чисел, делящихся на 5 и на 7, получим

Это не ответ, так как допущен двойной счет, а именно, числа делящиеся одновременно на 3 и 5 или 3 и 7 или 5 и 7 здесь учтены дважды. Для исправления полученной ошибки прибавим Полученная сумма вновь не может быть ответом, так как числа, которые делятся на все три числа 3, 5 и 7, мы три раза вычитали, а затем три раза прибавили. Исправив эту ошибку, мы получим ответ:

Замечание:При решении задачи применен метод включения и исключения.