
- •Модуль 1. Элементы теории чисел Глава 1.1. Целые числа §1.1.1. Теория делимости
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.2 Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.3 Теорема о линейном представлении наибольшего общего делителя
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.4 Наименьшее общее кратное
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.5 Простые числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.6 Основная теорема арифметики кольца целых чисел
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.7 Целая часть числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.8 Функция Эйлера
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.9 Сравнения
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.10 Полная система вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.11 Приведенная система вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.12 Теорема Эйлера
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.13 Кольцо классов вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.14 Решение сравнений
- •Упражнения и задачи
- •Контрольная работа №1 по теме “Целые числа”
- •I вариант
- •II вариант
- •III вариант
- •IV вариант
- •V вариант
- •VI вариант
- •VII вариант
- •VIII вариант
- •IX вариант
- •X вариант
- •XI вариант
- •XII вариант
- •XIII вариант
- •XIV вариант
- •XV вариант
- •XVI вариант
- •XVII вариант
- •XVIII вариант
- •XIX вариант
- •XX вариант
- •XXI вариант
- •XXII вариант
- •XXIII вариант
- •XXIV вариант
- •XXV вариант
- •XXVI вариант
- •XVII вариант
- •XXVIII вариант
- •XXIX вариант
- •XXX вариант
- •Глава 1.2. Комплексные числа и комплексные функции
- •§1.2.1 Алгебраическая форма комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.2 Комплексно сопряженные числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.5 Формула Муавра
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.6 Модуль комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.7 Извлечение корня из комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.8 Корни из 1
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.9 Показательная форма записи комплексного числа
- •Упражнения и задачи
Упражнения и задачи
Найти корни уравнений:
а)
б)
Доказать тождества:
а)
б)
Выразить в радикалах корни из 1 степеней 3, 4, 6, 8, 12.
Вычислить сумму s-xстепеней всех корней степенипиз 1, гдеs– целое число.
§1.2.9 Показательная форма записи комплексного числа
Пусть
– действительное число. Полагаем
(1)
Эта формула называется
формулой Л. Эйлера. Она не доказывается,
а принимается в качестве определения
символаТакое определение оправдано тем, что
сохраняются основные свойства
действительных показателей. Здесье– основание натуральных логарифмов,
.
Для любого комплексного числа
вновь полагаем:
(2)
Эта формула не приведет к противоречию в случае, когда z– действительное число, со свойствами возведения действительного числа в действительную степень.
Основные свойства возведения в комплексную степень:
С помощью формулы
Эйлера комплексное число
можно записать в показательной форме:
(3)
где r– модуль числаz, а– его аргумент. При этом формула Муавра
принимает вид:
Корни п-ой степени из числаzполучают вид:
Замена
на
в формуле Эйлера дает формулу:
Отсюда легко получаем
Пример.Выразить
через косинусы углов кратныха)
б)
Решение:а)
б)
Упражнения и задачи
Определить вид кривых, заданных следующими уравнениями:
Контрольная работа №2 по теме “Комплексные числа”
I вариант
Вычислите:
а) (2 +
5i )3; б).
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)
; б)
.
Решите уравнение: а)
; б)
.
Пусть
, где
. Докажите, чтоw– чисто мнимое тогда и только тогда, когда
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите
через тригонометрические функции кратных углов.
Найдите сумму:
.
II вариант
Вычислите:
а)
; б)
.
При каких комплексных zвыражения
и
одновременно имеют действительные значения?
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)
; б)
.
Решите уравнение: а)
; б)
.
Для каких целых n
?
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите
через
.
Найдите сумму:
.
III вариант
Вычислите:
а)
б)
.
При каких действительных xиyчисла
и
будут комплексно сопряженными?
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)
; б)
.
Решите уравнение: а)
; б)
.
Вычислите z1971+
, если
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите
через
.
Найдите сумму:
.
IV вариант
Вычислите:
а)
б)
.
Найдите действительные значения x, при которых комплексные числа
и
являются сопряженными.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)
; б)
.
Решите уравнение: а)
б)
.
Вычислите z1971+
, если
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите
через
.
Найдите сумму:
.
V вариант
Вычислите:
а)
; б)
.
При каких действительных хиучисла
и
будут комплексно сопряженными?
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)
; б)
.
Решите уравнения: а)
; б)
.
Докажите, что а)
; б)
; в)
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразить
через
.
Найдите сумму:
.
VI вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:
а)
; б)
.
Решите уравнения: а)
; б)
.
Докажите, что а)
; б)
; в)
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите
через
.
Найдите сумму:
.
VII вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:
а)
; б)
.
Решите уравнения: а)
; б)
.
Если
– корень многочлена с действительными коэффициентами, то и число
, сопряженное числу
, также корень этого многочлена. Докажите это.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите
через
.
Найдите сумму:
.
VIII вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:
а)
; б)
.
Решите уравнения: а)
; б)
.
Если
– действительные число, то
, где
. Докажите это.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите
через
.
Найдите сумму:
.
IX вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Найдите, при каких комплексных значениях k уравнение
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:
а)
; б)
.
Решите уравнения: а)
; б)
.
Докажите, что
, если
,
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите
через
.
Найдите сумму:
.
X вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)
; б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Докажите свойства модуля комплексного числа:
а)
, б)
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите
через тригонометрические функции кратных углов.
Найдите сумму:
.
XI вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Докажите свойства модуля комплексного числа:
а), б)
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите
через
.
Найдите сумму:
.
XII вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)
б)
Решите уравнения: а)
, б)
.
Докажите, что если комплексное число
удовлетворяет соотношению
, то наибольшее возможное значение его модуля равно
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите
через
.
Докажите, что
.
XIII вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)б)
Решите уравнения: а)
, б)
.
Вычислите выражение
, если
есть корень уравнения
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
.
Докажите, что
.
XIV вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)б)
Решите уравнения: а)
, б)
.
Пусть
. Докажите, что
и
тогда и только тогда, когда
, где
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
.
Найдите сумму
.
XV вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)б)
Решите уравнения: а)
, б)
.
Пусть
. Докажите, что
и
тогда и только тогда, когда
, где
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
.
Докажите, что
.
XVI вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Найдите, при каких комплексных значениях kуравнение
имеет разные корни.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)
; б)
Решите уравнения: а)
, б)
.
Докажите, что
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
.
Найдите сумму:
.
XVII вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Найдите все комплексные числа хиутакие, что числаx, 2x+y, 2x+yобразуют арифметическую прогрессию, а числа
образуют геометрическую прогрессию.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
Решите уравнения: а)
, б)
.
Выясните, при каких условиях произведение двух комплексных чисел а)чисто мнимое число, б) вещественное число.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
.
Докажите, что
.
XVIII вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Найдите все числа, сопряженные своему квадрату
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)б)
Решите уравнения: а)
, б)
.
Докажите, что
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
.
Докажите, что:
.
XIX вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Найдите все числа, сопряженные своему кубу.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Докажите, что
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через тригонометрические функции кратных углов.
Докажите, что:
.
XX вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите систему, считая, что x, y, z, tвещественные:
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Упростите выражение:
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через тригонометрические функции кратных углов.
Докажите, что
.
XXI вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите систему:
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Докажите равенство:
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через тригонометрические функции кратных углов.
Докажите, что
.
XXII вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите систему:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Докажите, что
и
комплексно сопряженные тогда и только тогда, когда
+
и
– действительные числа.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
и
.
Найдите сумму:
.
XXIII вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите систему:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Докажите равенство:
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
и
.
Найдите сумму:
.
XXIV вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Докажите, что корни уравнения
могут быть записаны в виде
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
и
.
Найдите сумму:
.
XXV вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Найдите сумму p-x степеней корней уравнения
, гдеp– целое.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
и
..
Найдите сумму:
.
XXVI вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите систему:
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Докажите, что
, если
.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
и
..
Найдите сумму:
.
XXVII вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите систему:
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Где расположены точки на числовой плоскости, для которых
(z– комплексное число)?
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
и
..
Найдите сумму:
.
XXVIII вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите систему:
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Найдите порядки всех корней из единицы 12 степени.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
и
.
Найдите сумму:
.
XXIX вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите систему:
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Докажите, что если – первообразный кореньn-той степени из 1, то и
– первообразный кореньn-той степени из 1.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
и
.
Найдите сумму:
.
XXX вариант
Вычислите: а)
; б)
.
Решите уравнение:
.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
.
Решите уравнения: а)
, б)
.
Найдите порядки всех корней из 1 степени 20.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
.
Выразите
через
.
Найдите сумму:
.