Упражнения и задачи
Изобразить на плоскости множество всех точек плоскости, для которых:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
Модули четырех различных комплексных чисел z1,z2,z3иz4равны. Доказать, что:
(Теорема Птолемея.Произведение длин диагоналей выпуклого вписанного в окружность четырехугольника равно сумме попарных произведений длин его противоположных сторон.)
§1.2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть
Argz. Тогда
и комплексное число zможно выразить через его модуль и аргумент:
(тригонометрическая формазаписи комплексного числаz).
Если z1иz2представить в тригонометрической форме:
то
Используя формулы сложения синуса и косинуса, получим формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:
В правой части записано
число в тригонометрической форме, модуль
которого равен r1r2,
а аргумент
Таким образом,
Arg
Argz1 +Argz2, т.е. при
умножении комплексных чисел их модули
перемножаются, а аргументы складываются.
Получается следующая геометрическая
картина. Еслиz=z1z2,
то вектор
получается из вектора
поворотом его на угол
против движения часовой стрелки, если
и по движению в противном случае, и
увеличением его вr2раз. Например, умножению числаzна
отвечает поворот вектора
на угол
против направления движения часовой
стрелки.
Рассмотрим деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:
Следовательно,
Arg
Argz1–Arg
z2.
Иначе говоря, вектор
для
получается из вектора
поворотом его на угол
и сокращением вr2раз. Делению наiотвечает поворот на угол
по направлению движения часовой стрелки.
Замечание.РавенствоArg
Argz1+Argz2для главного
аргумента
вообще говоря, не верно. Его надо понимать
в следующем смысле: для любых отличных
от нуля комплексных чиселz1иz2среди всех
возможных значенийArgz1,Argz2иArgz1z2
найдутся такие, для которых оно
выполнено.
Пример.Для
имеем
Но
Пример.Записать
в тригонометрической форме числа 1+i;
Решение:
Упражнения и задачи
Представить в тригонометрической форме:
а) -2;
б) i; в) -2i;
г)
д) 4-3i; е)
Представить в алгебраической форме:
а)
б)
Выполнить умножение:
а)
б)
Представить в тригонометрическом виде:
а)
б)
§1.2.5 Формула Муавра
Если
– тригонометрическая форма записи
комплексного числаz,
то
Для любой натуральной степени числа zпо индукции получим:
Заметим, если
то
и
Для натурального числа пполучим:
т.е. для любого целого числа пимеет место равенство (формула Муавра):
Пример.Доказать,
что
Решение:По формуле Муавра:
С другой стороны, по формуле сокращенного умножения:
Отсюда
Тогда
Пример.Найти сумму
Решение:Рассмотрим суммы:
Тогда
Применяя формулу суммы членов геометрической прогрессии, получим:
Итак,
Пример.Найти
сумму: а)
б)
.
Решение:По формуле бинома Ньютона имеем:
По формуле Муавра находим:
Приравнивая вещественные
и мнимые части полученных выражений
для
,
имеем
Пример.Выразить
через тригонометрические функции
кратных углов.
Решение:Пусть
Тогда
и
Упражнения и задачи
Выразить через
и
:
а)
б)
в)
г)
д)
Выразить через тригонометрические функции кратных углов:
а)
б)
в)
Вычислить суммы:
а)
б)
в)
г)
Вычислить: а)
б)
в)
Доказать, что
если