Упражнения и задачи
Вычислить:
а)
б)
в)
г)
д)
Представить в алгебраической форме:
а)
б)
в)
Выполнить действия:
а)
б)
в)
Представить в алгебраической форме:
а)
б)
в)
Решить уравнения:
а)
б)
в)
Решить систему
§1.2.2 Комплексно сопряженные числа
Для
комплексное число
называетсясопряженным. Имеют место
равенства:
т.е.zи
сопряжены друг другу;
Отсюда непосредственно вытекает.
Теорема.Пусть имеется выражение, составленное из комплексных чисел, над которыми совершается ряд рациональных операций (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень). Если каждое из этих чисел заменить на сопряженное, то и значение всего выражения заменится на сопряженное. ■
Заметим, что произведение
и сумма сопряженных чисел являются
действительными числами:
Ясно
также, что
Пример.Найти число
сопряженное числу
Решение:
Пример.Доказать
тождество
Доказательство:Пусть
Тогда
Аналогично получим,
что
Поэтому:
Упражнения и задачи
Представить в алгебраической форме
если
Решить уравнение:
а)
б)
Если с– корень многочлена с действительными коэффициентами, то и число
,
сопряженное числус, также корень
этого многочлена. Доказать это.Показать, что числа
и
удовлетворяют уравнению
Если
– действительное число, то
где
Доказать это.
§1.2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Поставим каждому числу
в соответствие точку с координатами
в прямоугольной декартовой системе
координатXOY, т.е.
установим взаимно однозначное соответствие
между множеством комплексных чисел и
точками плоскостиXOY(см. рис. 2.1). ПлоскостьXOY,
служащая для изображения комплексных
чисел, называетсяплоскостью комплексной
переменной.ОсьOXназывается действительной осью; на ней
изображаются действительные числа. ОсьOY-мнимаяось; на
ней изображаются чистомнимые числа.
Сложение и вычитание
комплексных чисел получают простое
геометрическое истолкование. Для всякого
комплексного числа
вектор
имеет своими проекциями на осиOX,
OYсоответственно
числаx, y.Пусть теперь
Тогда для
имеем
О
тсюда
вытекает, что проекциями вектора
на
оси координат оказываются суммы
соответствующих проекций векторов
и
;
иными словами сумма находится по правилу
параллелограмма сложения векторов
.
Если
то
и для построения вектора
в этом случае мы должны сложить векторы
и -
(см. рис. 2.3), т.е. получим вектор, равный
вектору
(вторая диагональ того же параллелограмма).
Расстояние от точки
до начала координат равно
Величина
называетсямодулемкомплексного
числа
.
Для действительного числа он совпадает
с понятием абсолютной величины. Модуль
комплексного числа неотрицателен и
определен однозначно;
Угол
отсчитываемый против часовой стрелки
от луча
до луча
называетсяглавным аргументом числа
и обозначается
Величина
может быть найдена из системы:
Аргументомкомплексного числаz
(Argz)
называется любое из чисел вида
где
т.е. аргумент определен с точностью до
Для числаz= 0 аргументом
может быть любое число.
Пример.Изобразить на плоскости число 1+i, найти его модуль и аргумент.
Решение:
т.е.
т.е.
Пример.Изобразить
на плоскости множество всех точек, для
которых
Решение:
Следовательно
или
Получили уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке (-2; 0).
Пример.Изобразить
на плоскости множество всех точек, для
которых
Ответ:Луч с началом
в точке (0; 0) и проходящий под углом
к осиOX.
Теория комплексных чисел может быть использована при решении планиметрических задач.
Пример.Доказать,
что
Доказательство:Поскольку
то
Тем самым доказано, что сумма квадратов
диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов всех его сторон.