Справочник МАТАН
.pdf
Показательная функция
Функция |
, где – положительное число, a > 1 |
не равное 1, называется показательной. |
|
Областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел, областью значений – множество всех положительных
действительных чисел. Так как |
, то график по- |
|
казательной функции проходит через точку ( ); |
||
функция монотонно возрастает при |
и моно- |
|
тонно убывает при |
. |
|
При решении показательных уравнений и неравенств пользуются свойством монотонности по-
казательной функции: |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
( |
), |
|
|
( |
). |
|
Логарифмическая функция |
||
Функция |
|
, где |
– положительное число, не |
равное 1, называется логарифмической.
Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных действительных чисел, областью значений – множество
всех действительных чисел. Так как |
, то график |
||
показательной функции проходит через |
точку ( ); |
||
монотонно возрастает при |
и монотонно убывает |
||
при |
. |
|
|
При решении логарифмических уравнений и |
|||
неравенств |
пользуются |
свойством |
монотонности |
функции ( |
): |
|
|
|
|
, |
|
|
|
( |
), |
|
|
( |
). |
y
1
0 x
y 0 < a < 1
1
0 x
a > 1 y
0 1 x
y |
0 < a < 1 |
0 1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тригонометрические функции |
|||
|
|
|
|
Функция |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
Областью определения является множество |
|||||||
всех действительных чисел, областью значений – |
|||||||||||
промежуток |
. |
Функция |
возрастает |
на |
|||||||
[ |
|
|
|
|
|
|
|
], |
, |
убывает |
на |
|
|
|
|
|
|||||||
[ |
|
|
|
|
|
|
|
], |
. Функция является |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ 11 ~ |
|
y y=sinx
1
x
0 -1
нечетной, график симметричен относительно начала координат.
|
|
Функция |
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
Областью определения является множество |
y y=cosx |
||||||||
всех действительных чисел, областью значений – |
|||||||||||
1 |
|
||||||||||
промежуток |
|
. |
Функция возрастает |
на |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
, |
, |
убывает на |
|
|
0 -1 |
|
||
|
|
. Функция является четной, график |
|
|
|||||||
симметричен относительно оси . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Функция |
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
Областью определения является множество |
|
|
|||||||
всех действительных чисел, кроме точек вида |
y |
|
|||||||||
|
y=tgx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
, |
, областью значений – множество |
0 |
|
||||||
|
|
||||||||||
всех действительных чисел. Функция возрастает |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
на каждом промежутке области определения. |
|
|
|||||||||
Функция |
является |
нечетной, |
график |
|
|
||||||
симметричен относительно начала координат. |
|
|
|
||||||||
|
|
Функция |
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
Областью определения является множество |
y |
|
|||||||
всех действительных чисел, кроме точек вида |
, |
y=ctgx |
|||||||||
|
|||||||||||
|
|
, областью значений – множество всех |
|
|
|||||||
действительных |
чисел. |
Функция убывает |
на |
0 |
|
||||||
каждом промежутке области определения. |
|
|
|||||||||
Функция |
является |
нечетной, |
график |
|
|
||||||
симметричен относительно начала координат. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
Обратные тригонометрические функции |
|
|
||||||
x
x
x
Функция |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Область |
определения – |
промежуток |
, |
|||||
область значений – промежуток [ |
|
|
|
]. Функция |
||||
|
|
|||||||
возрастает на всей области определения. Функция |
||||||||
является |
нечетной, |
график |
симметричен |
|||||
относительно начала координат. |
|
|
|
|
||||
Функция |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Область |
определения |
– промежуток |
, |
|||||
область значений – |
промежуток |
|
|
. Функция |
||||
убывает на всей области определения. |
|
|||||||
Функция |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Область определения – множество всех действительных чисел, область значений –
промежуток ( ). Функция возрастает на всей области определения. Функция является нечетной,
~ 12 ~
|
|
y |
|
|
0 |
y=arcsinx |
|
|
|
|
|
-1 |
|
1 |
x |
|
y |
|
|
|
|
y=arccosx |
|
|
|
0 |
x |
|
|
|
|
-1 |
|
|
1 |
y
y=arctgx 0 x
график симметричен относительно начала координат.
Функция |
. |
Область определения – множество всех |
|
действительных чисел, |
область значений – |
промежуток ( ). Функция убывавет на всей области определения.
y
y=arcctgx
0 x
Основные приемы преобразования графиков
y
f(x)
( |
) |
|
Пусть дан график функции |
|
|
|
|
|||||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)+b |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
( ) |
|
|
Перенос графика |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= ( |
) на вектор ( |
) |
|
|
b |
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
f(x+b) |
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
Перенос графика |
( |
) |
|
|
|
|
|||||
|
на вектор ( |
) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
|
растяжение от |
|
|
y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( |
) |
|
ки ( ) вдоль оси ординат в k |
|
|
|
|
|||||||
|
раз; при |
сжатие к |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
точке ( |
) вдоль оси ординат |
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
в |
|
|
раз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сжатие к точке ( |
) |
f(kx),(0<k<1) |
|
y |
|
|||||
|
|
|
При |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
f(x) |
||||||||
|
|
|
вдоль оси абсцисс в k раз; |
|
|
|
||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
при |
|
|
|
|
растяжение от |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
|
|
|
точки ( |
) вдоль оси абсцисс в |
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раз |
|
|
|
|
f(kx),(k>1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
( |
) |
|
Отображение симметрично от- |
-f(x) |
|
|
|
|||||||
|
носительно оси абсцисс |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
~ 13 ~ |
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
f(-x) |
f(x) |
|
|
( |
) |
|
|
|
Отображение симметрично от- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
носительно оси ординат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть графика в верхней полу- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости и на оси абсцисс без |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
| ( |
)| |
|
|
|
изменения, а вместо части гра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
фика в нижней полуплоскости |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
строим симметричную ей отно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сительно оси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть графика в правой полу- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости и на оси ординат без |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|||||||
|
|
(| |
|) |
|
|
|
|
изменения, а вместо части в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
левой полуплоскости строим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
симметричную правой относи- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно оси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Производной функции |
( |
) в точке называется число ( ) |
||||||||||||||||||||||||
равное |
|
|
|
|
( |
) ( |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Таблица производных основных элементарных функций |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Формула |
|
|
Ограничения |
|
|
Формула |
|
|
|
|
|
Ограничения |
||||||||||||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
или |
c s |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ 14 ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Правила дифференцирования
Для непрерывных, определенных и дифференцируемых на ин-
тервале функций и |
справедливы правила дифференцирования: |
|||||||
|
( |
|
) |
|
|
, где |
– константу (постоянный множитель) |
|
можно выносить за знак производной; |
||||||||
|
( |
|
|
) |
|
– производная суммы равна сумме производных; |
||
|
( |
|
|
) |
|
|
|
– производная произведения равна сумме |
произведений производной одной функции на другую; |
||||||||
|
( |
|
) |
|
|
|
– производная частного; |
|
|
|
|
|
|||||
|
( |
( ) ) |
|
( ) |
( ) – производная сложной функции |
|||
равна произведению производной внутренней функции на производную внешней.
|
Физический смысл производной |
|
|
|
||
|
Пусть ( ) – зависимость пути от времени, тогда |
( ) |
|
( ) (ско- |
||
рость есть производная пути по времени) и ( ) |
( ) |
|
( ) (уско- |
|||
рение есть производная скорости по времени). |
|
|
|
|||
Уравнение касательной. Геометрический смысл производной |
||||||
|
Пусть в системе координат изображен график некоторой функ- |
|||||
ции |
( ). Касательная к нему в точке |
|
|
|
||
есть прямая, задаваемая уравнением: |
y |
|
|
|||
|
( ) ( |
) |
( ). |
|
|
касательная |
|
Геометрический смысл производной за- |
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
ключается в том, что значение производной |
|
|
|
|||
функции в точке равно тангенсу угла наклона |
0 |
|
x |
|||
|
||||||
касательной к графику функции в этой точке.
Первообразная функции и интеграл
Функция |
( ) называется первообразной для функции ( ), если |
||
( ) |
( ). |
Множество всех первообразных ( ) |
функции для |
( ), |
где |
– произвольная константа, называется интегралом от |
|||||||||
функции ( |
) и обозначается ∫ |
( ) |
|
( ) |
. |
|
|
||||
|
|
Три правила нахождения первообразных |
|||||||||
|
Если |
есть первообразная для |
, а |
– первообразная для , то |
|||||||
|
есть первообразная для |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
Если |
есть первообразная для |
, а |
– постоянная, то функция |
|||||||
– первообразная для . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Если |
( ) есть первообразная для |
( |
), а |
и |
– постоянные, |
|||||
причем |
, то |
|
( |
) есть первообразная для |
( |
). |
|||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ 15 ~ |
|
|
|
|
|
Таблица первообразных
( ) |
|
( ) |
|
Ограничения |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
, или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
| |
| |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
n
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
), |
|
|
|
|
c s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
), |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Определенный интеграл |
|
|
|||||||
|
Если |
( ) – произвольная непрерывная первообразная функции |
||||||||||||
( |
) |
на отрезке |
, то определенным интегралом ∫ |
( ) от |
||||||||||
функции |
( ) вдоль отрезка |
|
называется число, равное разности |
|||||||||||
( |
) |
( |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь криволинейной трапеции |
|
|
||||||||
|
Фигура, ограниченная графиком непрерыв- |
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
ной и неотрицательной на отрезке |
функции |
|
|
|||||||||||
( |
) |
и прямыми |
, |
, |
называется |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||||||||
криволинейной трапецией. Площадь криволи- |
|
|
|
|
||||||||||
нейной трапеции можно вычислить по формуле |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
∫( ) .
Основные метрические соотношения планиметрии
|
|
Треугольник |
А |
|||
|
|
|
|
|
||
Введем для треугольника |
обозначения: |
|
|
|||
|
|
|||||
, |
, |
, |
|
– медиана, бис- |
|
|
сектриса и высота соответственно, проведенные |
|
|
||||
к стороне , |
– периметр, |
– полупериметр, – |
|
|
||
площадь треугольника, и |
– радиусы соответ- B |
|
C |
|||
|
||||||
ственно описанной и вписанной окружностей. |
|
|
||||
|
|
|
|
~ 16 ~ |
|
|
Для треугольника |
справедливы соотношения для нахожде- |
|||||||||
ния его площади: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
√ ( |
)( |
)( |
), |
|||||
|
||||||||||
|
|
, |
|
|
sin sin |
|
, |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
||
,
В произвольном треугольнике имеют место соотношения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– теорема синусов; |
|
sin |
|
|
sin |
|
sin |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– теорема косинусов; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– длина медианы; |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
– длина высоты;
√ ( ) – длина биссектрисы.
В правильном треугольнике со стороной можно использовать формулы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
, |
|
√ , |
|||
В прямоугольном треугольнике с катетами
,гипотенузой и высотой , проведенной к
гипотенузе и делящей ее на отрезки |
и , |
|||
справедливы соотношения: |
|
|
||
|
, |
|
|
, |
|
, |
|
. |
|
Теорема Пифагора. В прямоугольном тре- |
||||
угольнике |
квадрат |
гипотенузы |
равен |
сумме |
|
. |
|
|
|
√ .
|
|
C |
|
b |
a |
|
|
|
A |
c |
B |
|
|
квадратов катетов:
Правильные многоугольники
Для правильного n-угольника со стороной |
, радиусом описанной |
|||||||||
окружности |
, радиусом вписанной окружности , периметром и |
|||||||||
площадью |
справедливы формулы: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Четырехугольники
Отметим некоторые факты, касающиеся четырехугольников:
сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна 180 ;
суммы противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны;
~17 ~
сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон.
Площади четырехугольников могут быть найдены по формулам:
Фигура |
Площадь |
Обозначения |
|||||||
Квадрат |
|
|
|
|
|
|
|
– сторона |
|
Прямоуголь- |
|
|
|
|
|
|
|
– стороны |
|
ник |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параллело- |
|
|
|
|
|
|
|
– угол между сторонами и , |
|
грамм |
|
|
|
|
|
|
|
– высота к стороне |
|
Ромб |
|
|
|
|
|
|
|
– сторона, – острый угол меж- |
|
|
|
|
|
|
|
|
ду сторонами, |
– диагонали |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Трапеция |
|
|
|
|
( |
) |
– основания, |
– высота |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выпуклый |
|
|
|
|
|
|
|
– угол между диагоналями |
|
четырех- |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угольник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окружность
|
Длина окружности радиуса |
: |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Площадь круга радиуса |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Длина дуги в |
градусов или |
радиан: |
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Площадь сектора с дугой в |
градусов или |
радиан: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Радиус вписанного круга в треугольник со сторонами |
|
|
и |
|||||||||||||||||
полупериметром : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
√ |
( )( |
)( ) |
, |
( |
|
) |
|
|
( |
) |
|
|
( |
) |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Радиус описанного круга около треугольника со сторонами
иплощадью : .
Объемы и поверхности тел
|
Обозначения: h – высота; P – периметр или окружность основа- |
|
ния; |
– площадь основания; |
– площадь перпендикулярного сече- |
ния; |
– |
; А – апофема правиль- |
ной пирамиды и правильной усеченной пирамиды; l – образующая
конуса или цилиндра (апофема пирамиды); |
– площади основа- |
|
ний усеченных пирамиды и конуса, |
|
– периметры оснований |
усеченных пирамиды и конуса; |
– радиусы оснований усечен- |
|
ного конуса; R – радиус шара или основания конуса. ~ 18 ~
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь |
|
|
Площадь |
|
||||||||||
|
Тело |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объем |
|
|
|
боковой |
|
|
|
полной |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхно- |
|
|
поверхно- |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти |
|
|
|
|
|
сти |
|
|
|
||
|
Прямая призма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наклонная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
призма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правильная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пирамида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть сумма |
|
|
есть сумма |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площадей |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площадей |
|
|
|
|||||||||||
|
Пирамида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
боковых гра- |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
боковых гра- |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ней и площа- |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ней |
|
|
ди основания |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Усеченная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
√ |
) |
|
( |
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
пирамида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цилиндр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Конус |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Усеченный |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
( |
) |
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||||||||
|
конус |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шар |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаровой |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
сегмент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Шаровой слой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Шаровой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
сектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
h – высота сегмента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ 19 ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Метод координат на плоскости
В прямоугольной декартовой системе координат |
: |
||||||||||||||
|
расстояние между точками ( |
) и |
( |
) находят по |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле: |
|
√( |
) |
( |
) ; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
– координаты точки |
( |
), делящей от- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
резок |
|
в отношении |
|
|
|
|
; |
|
|
||||||
|
| | |
|
|
|
– длина вектора ( |
); |
|
|
|||||||
√ |
|
|
|
||||||||||||
|
( |
) |
|
|
( |
|
|
) |
|
– уравнение окружности радиуса с |
|||||
центром |
( |
|
|
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| || | |
|
|
|
– скалярное произведение век- |
|||||||||
торов ( |
), |
|
( |
), угол между которыми равен . |
|||||||||||
Комбинаторика и вероятность
Основные комбинаторные схемы и формулы
Задачи безформульной комбинаторики базируются на использовании двух правил:
правило комбинаторного умножения: если первый элемент можно выбрать n способами, после чего второй элемент – k способами, то выбрать первый и второй элементы можно способами;
правило комбинаторного сложения: если первый элемент мож-
но выбрать n способами, после чего второй элемент – k способами, то выбрать первый или второй элементы можно способами.
Для решения задач по формулам необходимо определить, по какой комбинаторной схеме она решается. Для этого требуется ответить на ряд вопросов.
Важно ли в каком порядке выбираются элементы?
Если порядок имеет значение, то выбираются схемы переста-
новок или размещений; если не важен – сочетаний.
Могут ли при выборе элементы повторяться (выбирать один и тот же элемент несколько раз; брать одинаковые элементы и т. п.)?
Если элементы все разные, то выбирается схема «без повторений», а если есть возможность повторять элементы – «с повторениями».
Все ли имеющиеся элементы используются при выборе?
Если используются все элементы, то выбирается схема перестановок, если только часть имеющихся элементов – схема размещений.
Для удобства использования формул они представлены в таблице. Напомним, что обозначает произведение всех натуральных чи-
сел от 1 до n включительно и называется факториалом числа n (по определению 0! = 1).
~ 20 ~