IDZ_Matem_IKRiM_2_sem_v1

Министерство образования и науки

ФГБОУ ВПО Уральский государственный педагогический университет

Математический факультет

Кафедра высшей математики

В.Ю. Бодряков

Индивидуальные домашние задания

по дисциплине «Математика»

Екатеринбург – 2012

Составители: В.Ю. Бодряков

Индивидуальные домашние задания по дисциплине «Математика». Екатеринбург: УрГПУ, 2012, с.

Индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по дисциплине «Математика» предназначены для студентов очной и заочной форм обучения нематематических факультетов УрГПУ, изучающих курс математики в соответствии с требованиями Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС) по соответствующим направлениям подготовки. Работа содержит 12 индивидуальных домашних заданий (ИДЗ) по 30 вариантов в каждом, содержащих различные задания по дисциплине «Математика».

Целью настоящего комплекта ИДЗ является ознакомление студентов с основами линейной алгебры и началами математического анализа. При решении заданий по линейной алгебре учащиеся отработают навыки действий с определителями и матрицами, а также решения систем неоднородных и однородных линейных алгебраических уравнений. При решении заданий по математическому анализу студенты освоят технику вычисления пределов функции, получат навыки исследования функций одной переменной с применением аппарата дифференциального исчисления. Структурно комплект ИДЗ может быть разбит на три блока: ИДЗ-1-4 – алгебраический блок; ИДЗ-5-8 – основы теории пределов и дифференциального анализа; ИДЗ-9-12 – прикладные аспекты применения дифференциального анализа для исследования функции одной переменной. В зависимости от степени подготовки студентов и объема учебных часов, выделенных на изучение дисциплины, преподаватель может варьировать объем выполняемых ИДЗ.

В целом, самостоятельное решение индивидуальных заданий позволяет углубить теоретические знания, отработать практические навыки решения задач по дисциплине. Во введении к работе приведены примеры решения типовых заданий по теме с необходимыми методическими указаниями.

Рецензент:

© Уральский государственный педагогический университет, 2012

ИДЗ-1. Действия с определителями.

ИДЗ-2. Действия с матрицами.

ИДЗ-3. Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

ИДЗ-4. Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

ИДЗ-5. Вычисление пределов с использованием теорем о пределах.

ИДЗ-6. Вычисление пределов с использованием замечательных пределов.

ИДЗ-7. Исследование функции на непрерывность.

ИДЗ-8. Дифференцирование функций.

ИДЗ-9. Вычисление производных.

ИДЗ-10. Правило Лопиталя.

ИДЗ-11. Полное исследование функции и построение ее графика.

ИДЗ-12. Решение задачи оптимизации.

Решение «нулевого варианта ИДЗ по Математике

ИДЗ-1. Действия с определителями

Для данного определителя :

 = .

а) найти алгебраические дополнения элементов 1-ой строки и 1-го столбца; б) вычислить определитель , приведя его к треугольному виду, или получив предварительно нули в к.-л. строке или столбце; в) проверить расчет, применяя разложение определителя по элементам 1-ой строки или 1-го столбца и используя алгебраические дополнения соответствующих элементов из задания а).

Решение: а) Как известно, алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij данного определителя  называется определитель порядка на единицу меньшего, полученный из исходного путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца; при этом знак алгебраического дополнения определяется как (–1)^i+j. В данной задаче,

A₁₁ = (–1)¹⁺¹ = = = – = –(–28 – (–1)6) = 10;

A₁₂ = (–1)¹⁺² = – = – = = 68 – 56 = 18;

A₁₃ = (–1)¹⁺³ = = = – = –(82 – 412) = 32;

A₁₄ = (–1)¹⁺⁴ = – = – = – = = 6 – 10 = –4;

A₂₁ = (–1)²⁺¹ = – = – = = 24 – 32 = 2;

A₃₁ = (–1)³⁺¹ = = = = 38 + 14 = 28;

A₄₁ = (–1)⁴⁺¹ = – = – = –2 = –2(22 + 14) = –16.

б) Вычислить определитель , приведя его к треугольному виду, или получив предварительно нули в к.-л. строке или столбце:

 = = = 1 = =

= = (–1) = 2 = 2(71 + 34) = 38.

в) проверим расчет, применяя разложение определителя по элементам 1-ой строки и (или) 1-го столбца и используя алгебраические дополнения соответствующих элементов из задания а).

Разложение по первой строке:

 = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃ + a₁₄A₁₄ = (–3)10 + 218 + 132 + 0(–4) = –30 + 36 + 32 = 38.

Разложение по первому столбцу:

 = a₁₁A₁₁ + a₂₁A₂₁ + a₃₁A₃₁ + a₄₁A₄₁ = (–3)10 + 22 + 428 + 3(–16) = –30 + 4 + 112 – 48 = 38.

Ответ: а) Алгебраические дополнения: A₁₁ = 10; A₁₂ = 18; A₁₃ = 28; A₁₄ = –4; A₂₁ = 2; A₃₁ = 28; A₄₁ = –16; б), в) величина определителя  = 38.

ИДЗ-2. Действия с матрицами

Даны две матрицы A и B:

A = ; B = .

Найти: а) AB; б) BA; в) A^–1; г) AA^–1; д) A^–1A.

Решение: а) AB =  =

= = .

б) BA =  =

= = .

Можно заметить, что AB  BA, т.е. в общем случае операция умножения матриц неперестановочна.

в) Вычислим обратную матрицу A^–1. Как известно, обратная матрица к данной матрице A может быть найдена по формуле:

A^–1 = ,

где  = – определитель матрицы A; A* = – транспонированная матрица алгебраических дополнений к элементам a_ij исходной матрицы A (присоединенная матрица). Обратная матрица A^–1 существует при   0.

Определитель данной матрицы A равен:

 = = = 1 = 142 – 11(–1) = 39  0.

Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы A:

A₁₁ = (–1)¹⁺¹ = (–1)2 – 23 = –8;

A₁₂ = (–1)¹⁺² = –(22 – 33) = 5;

A₁₃ = (–1)¹⁺³ = 22 – 3(–1) = 7;

A₂₁ = (–1)²⁺¹ = –(02 – 12) = 2;

A₂₂ = (–1)²⁺² = (–4)2 – 31 = –11;

A₂₃ = (–1)²⁺³ = –((–4)2 – 30) = 8;

A₃₁ = (–1)³⁺¹ = 03 – (–1)1 = 1;

A₃₂ = (–1)³⁺² = –((–4)3 – 21) = 14;

A₃₃ = (–1)³⁺³ = (–4)(–1) – 20 = 4;

Таким образом, матрица алгебраических дополнений матрицы A есть ; транспонированная к ней матрица (присоединенная матрица) A* = . Наконец, обратная матрица матрицы A равна:

A^–1 = .

г) Удостоверимся в правильности расчетов, вычислив произведение AA^–1:

AA^–1 =  =  =

=  =  = .

д) Удостоверимся в правильности расчетов, вычислив произведение A^–1A:

A^–1A =  =

=  =  = .

Как видно, AA^–1 = A^–1A = E, где E – единичная матрица. Это значит, что матрица A^–1 вычислена правильно.

Ответ: а) AB = ; б) BA = ;

в) A^–1 = ; г), д) AA^–1 = A^–1A = E.

ИДЗ-3. Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по правилам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса:

Решение: Совместность данной системы линейных неоднородных алгебраических уравнений проверим по теореме Кронекера – Капелли, утверждающей, что система совместна тогда и только тогда, когда ранги основной (r_A) и расширенной (r_B) матриц системы равны: r_A = r_B = r. При этом, если r = n, где n – порядок системы, система имеет единственное решение.

Рангом матрицы называется наиболее высокий порядок определителя, составленного из ее элементов, отличный от нуля.

В данном случае, определитель основной матрицы A системы уравнений:

 = = = –(–1) = 1(–1) – 35 = –16  0,

т.е. r_A = 3 = n. Установим значения определителей, составленных из элементов расширенной матрицы, заменяя последовательно столбцом свободных членов 1-ый, 2-ой и 3-ий столбцы основной матрицы системы:

detB₁ = = = = (–1) =

= –(35–99) = 64  0;

detB₂ = = = = (–1) = –(9 + 7) =

= –16  0;

detB₃ = = = = (–2) = –2(–10 – 6) =

= 32  0.

т.е. r_B = 3 = r_A. Т.о., ранги основной и расширенной матриц системы совпадают и равны числу переменных n = 3, т.е. система однозначно разрешима.

а) Для нахождения решения системы применим правила Крамера, используя значения вычисленных выше определителей:

x₁ = detB₁ = – 64 = –4;

x₂ = detB₂ = – (–16) = 1;

x₃ = detB₃ = – 32 = –2.

Окончательно, решение системы есть = .

б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме:

A = ,

где A = – матрица системы; и = – столбец переменных и свободных членов, соответственно. Тогда решение системы в матричном виде есть:

= A^–1.

Остается найти обратную матрицу A^–1 системы. Для этого вычислим матрицу дополнений и транспонируем ее, т.е. вычислим присоединенную матрицу A* к матрице A.

A₁₁ = (–1)¹⁺¹ = 4(–3) – 13 = –15;

A₁₂ = (–1)¹⁺² = –(2(–3) + 33) = –3;

A₁₃ = (–1)¹⁺³ = 2(–1) – 34 = –14;

A₂₁ = (–1)²⁺¹ = –(5(–3) – 11) = 16;

A₂₂ = (–1)²⁺² = –(1(–3) – 3(–1)) = 0;

A₂₃ = (–1)²⁺³ = –(1(–1) – 35) = 16;

A₃₁ = (–1)³⁺¹ = 5(–3) – 4(–1) = –11;

A₃₂ = (–1)³⁺² = –(1(–3) – 2(–1)) = 1;

A₃₃ = (–1)³⁺³ = 14 – 25 = –6.

Теперь присоединенной матрицей будет матрица A* =, а обратной матрицей – матрица A^–1 = .

Решением системы будет

= A^–1 =  = –  =

= –  = .

в) Решим данную систему методом Гаусса (методом исключения):

Исключим x₁ из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго уравнения; первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего уравнения. Получим

Последовательно находим x₂ = 1; x₃ = 4 – 61 = –2; x₁ = 3 – 51 –2 = –4.

Ответ: Решение системы: = .

ИДЗ-4. Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:

а) б)

Решение: а) Вычислим определитель системы:

 = = = = –(–1) = 4 + 7 = 11  0.

Т.к. определитель  однородной системы линейных уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение x₁ = x₂ = x₃ = 0.

б) Вычислим определитель системы:

 = = = = 0.

Т.к. определитель  однородной системы линейных уравнений равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений. Нетрудно убедиться, что ранг матрицы данной системы уравнений размерности n = 3 равен r_A = 2. Иными словами, в данной системе уравнений независимыми являются только два уравнения из трех; используем, например, первое и второе уравнения:

Так как определитель ₂ = = –9 – 4 = –13 из коэффициентов при неизвестных x₁ и x₂ не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных можно взять x₁ и x₂. С учетом сказанного, систему можно переписать в виде:

Решение этой системы получим с помощью формул Крамера:

x₁ =  = = – x₃;

x₂ =  = = x₃.

Таким образом, нетривиальным решением системы является тройка действительных чисел x₁ = – x₃, x₂ = x₃, x₃  R.

Ответ: а) x₁ = x₂ = x₃ = 0; б) x₁ = – x₃, x₂ = x₃, x₃  R.

ИДЗ-5. Вычисление пределов с использованием теорем о пределах

Вычислить пределы, применяя теоремы о пределах:

а) ; б) ; в).

Решение: а) При x  –2 числитель и знаменатель, как нетрудно убедиться, обращаются в нуль, давая под пределом неопределенность вида {0/0}. Поэтому в данном случае непосредственное применение теоремы о пределе отношения невозможно. Предварительно преобразуем дробь для избавления от неопределенности:

5x² + 13x + 6 = (5x + 3)(x + 2); 3x² + 2x – 8 = (3x – 4)(x + 2).

После простых преобразований возможно применение теорем о пределах:

= = = = = .

б) При n   числитель и знаменатель обращаются в бесконечность, давая под пределом неопределенность вида {/}. Поэтому и здесь непосредственное применение теоремы о пределе отношения невозможно. Как и выше, необходимо предварительное преобразование дроби для избавления от неопределенности, для чего разделим и числитель и знаменатель на старшую степень выражения, в данном случае n⁴:

= = = .

в) При x  4 числитель и знаменатель обращаются в нуль, давая под пределом неопределенность вида {0/0}. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе отношения невозможно. Необходимо предварительное преобразование дроби для избавления от неопределенности. Для этого числитель и знаменатель домножим на сопряженную сумму и разложим разность кубов в знаменателе на множители:

=  = = =

= = .

Полученное выражение уже не имеет особенности при x  4 и после простых преобразований возможно применение теорем о пределах:

= = = = .

Ответ: а) = ; б) = ; в) = .

ИДЗ-6. Вычисление пределов с использованием замечательных пределов

Вычислить пределы, применяя I и II замечательные пределы:

а) ; б) .

Решение: Выражения для I и II замечательного пределов есть, соответственно:

= 1;

= e.

а) Путем несложных преобразований приведем данный предел к стандартному виду II замечательного предела:

= = =.

Для удобства выполним замену переменной под знаком предела. Обозначим x – 1 = t. Тогда при x   и новая переменная t  . Кроме того, x = (t + 1) и 2 – 5x = 2 – 5(t + 1) = 2 – – t = – – t. Продолжим выкладки:

= =

=  = 1 = .

б) Приведем данный предел к стандартному виду I замечательного предела. Выполним замену переменной под знаком предела. Обозначим  – x = t. Тогда при x   новая переменная t  0. Кроме того,

² – x² = ² – ( – t)² = t(2 – t)