8. Числовые ряды

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1. Написать пять первых членов ряда, -ый член которого имеет вид:.

РЕШЕНИЕ:

Первые пять членов ряда имеют порядковые номера, соответственно, . Подставляя эти значения в формулу общего члена, получим:

2. Написать -ый член ряда.

РЕШЕНИЕ:

Так как все члены ряда с четными номерами отрицательны, а с нечетными – положительны, то в записи общего члена будет .

Величина под квадратным корнем в числителе отличается от порядкового номера на 1: при имеем, приимеем, приимеем. Следовательно, в общем случае, приимеем.

В знаменателе, очевидно, будет стоять факториал некоторой величины. Напомним, что

.

Тогда при имеем в знаменателе, приимеем, приимеем. Тогда, в общем случае, приимеем.

Получаем общий член ряда в виде:

.

3. Используя необходимый признак сравнения, исследовать сходимость ряда .

РЕШЕНИЕ:

Согласно необходимому признаку сходимости ряда, если числовой ряд сходится, то предел его общего члена при будет равен нулю:

.

В нашем примере общий член ряда

.

Найдем предел общего члена:

.

Необходимое условие сходимости ряда не выполняется, следовательно, данный ряд расходится.

Отметим, что, так как данный признак является необходимым, но не достаточным, то из равенства предела общего члена нулю, еще не следует сходимость данного ряда. В этом случае нужно применить дополнительные методы исследования сходимости рядов.

4. Используя признак сравнения, исследовать сходимость ряда:

РЕШЕНИЕ:

Согласно признаку сравнения рядов, если для двух рядов с неотрицательными членами идля всехn выполняется неравенство , то из сходимости второго ряда следует сходимость первого, а из расходимости первого ряда, следует расходимость второго.

Для того, чтобы воспользоваться признаком сравнения, нужно выбрать для сравнения один из эталонный рядов:

1. - гармонический ряд. Этот ряд расходится.

2. - обобщенный гармонический ряд. Сходится при, расходится при.

3. - геометрический ряд. Сходится при, расходится при.

В нашем случае для сравнения выберем геометрический ряд

, следовательно, эталонный ряд будет сходящимся.

Каждый член исходного ряда будет меньше соответствующего члена эталонного ряда, т.е..

Поэтому исходный ряд тоже будет сходиться.

5. Используя признак сравнения, исследовать сходимость ряда: .

РЕШЕНИЕ:

В качестве эталонного ряда выберем для сравнения гармонический ряд .

Так как, начиная со второго члена (), каждый член исходного ряда будет больше соответствующих членов расходящегося эталонного ряда

,

то исходный ряд тоже будет расходиться.

6. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд .

РЕШЕНИЕ:

Согласно признаку Даламбера, если предел отношения -го члена ряда к-му

будет меньше единицы, то ряд сходится, если же этот предел больше единицы, то ряд расходится. Если такой предел окажется равным единице, то о сходимости данного ряда судить на основании этого признака нельзя.

В нашем примере:

Составляем предел:

Следовательно, по признаку Даламбера, ряд будет сходиться.

7. Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

РЕШЕНИЕ:

По признаку Лейбница, знакочередующийся ряд будет сходиться, если выполняются два условия:

1. Члены ряда убывают по абсолютной величине:

2. Предел общего члена при равен нулю:.

Проверим заданный ряд на выполнение этих условий.

1.

- каждый последующий член ряда меньше предыдущего, поэтому первое условие признака Лейбница выполняется.

2.

(При нахождении этого предела мы свели предел числителя и знаменателя ко второму замечательному пределу и учли, что

Следовательно, и второе условие признака Лейбница выполняется, поэтому данный ряд будет сходиться.

8. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакопеременный ряд

РЕШЕНИЕ:

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда.

Исследуем заданный ряд на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд из модулей членов исходного ряда:

Для исследования сходимости применим признак Даламбера:

Тогда

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

9. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакопеременный ряд

РЕШЕНИЕ:

Сначала исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Составляем ряд из модулей членов данного ряда:

Для исследования сходимости полученного ряда, применим признак сравнения. В качестве эталонного ряда для сравнения используем гармонический ряд: :

.

Так как члены нашего ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, то наш ряд не будет иметь абсолютной сходимости.

Исследуем ряд на условную сходимость. Так как ряд знакочередующийся, то применим признак Лейбница:

1.

- каждый последующий член ряда меньше предыдущего, поэтому первое условие признака Лейбница выполняется.

2.

Второе условие признака Лейбница также выполняется: предел общего члена ряда равен нулю. (Отметим, что предел находили, используя правило Лопиталя).

Следовательно, ряд будет условно сходящимся.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Написать пять первых членов ряда, -ый член которого имеет вид:

а) б)в)г)д); е)

2. Написать -ый член ряда:

а) б)в)г)

д) е)ж)

3. Используя необходимый признак сравнения, исследовать сходимость ряда:

а) б)в)г)д)

4. Используя признак сравнения, исследовать сходимость ряда:

а)б)

в)г)д)е)

ж) з)

8.5. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

а)б)г)д)е)

ж)з)и)к)

8.6. Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд:

а)б)

в)г)

д)

7. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакопеременный ряд:

а) б)

в)г)д)

е)ж)з)