Определенный интеграл
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Для вычисления определенного интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница:
Сначала находим первообразную для подинтегральной функции:
.
Так
как в формуле Ньютона-Лейбница можно
использовать любую первообразную, то
возьмем такую первообразную, для которой
.
Получим:
.
Заметим, что сначала в первообразную подставляется верхний предел интегрирования а затем нижний. В отличие от неопределенного интеграла, при вычислении которого получается семейство функций, определенный интеграл равен конкретному числу.
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
По формуле Ньютона-Лейбница:
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Используем
замену переменной:
.
Тогда
.
Один из синусов войдет в дифференциал.
Останется
.
Меняем пределы интегрирования: на нижнем
пределе
,
следовательно
.
Верхний предел:
.
Имеем:
По свойству определенного интеграла, можно поменять местами пределы интегрирования (это делается для удобства вычислений, чтобы нижний предел был меньше верхнего), при этом поменяется знак перед интегралом:
Заметим, что при использовании замены переменной в определенном интеграле ненужно возвращаться к старой переменной, как это делалось при вычислении неопределенных интегралов, поскольку одновременно с заменой переменной мы меняем пределы интегрирования.
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Снова используем замену переменной в определенном интеграле:
5.
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Используем метод интегрирования по частям:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
Вычислить определенный интеграл:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
Вычислить определенный интеграл, используя замену переменной:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
Вычислить определенный интеграл, используя интегрирование по частям:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
Приложения определенного интеграла
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
и
.
РЕШЕНИЕ:
Первая линия представляет собой параболу с вершиной в точке (0;4) и ветвями, направленными вниз. Вторая линия тоже парабола, ветви которой направлены вверх. Изобразим эти линии:
Площадь
фигуры, заключенной между двумя линиями
и
,
на отрезке
где
,
вычисляется по формуле:
.
В
нашей задаче:
и
.
Чтобы найти пределы интегрирования a и b, нужно определить абсциссы точек пересечения этих двух линий. Находим их, решая систему уравнений:
Имеем:
Следовательно,
.
Находим площадь фигуры:
(кв. единиц)
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
,
,
,
.
РЕШЕНИЕ:
Первая
линия представляет собой логарифмическую
кривую. Линии
и
совпадают с осями
и
соответственно. Линия
параллельна оси
.
Изобразим эти линии:
Из рисунка видно, что удобнее решать эту задачу, проецируя криволинейную трапецию на ось ординат. В противном случае ее придется разбивать на две фигуры. Тогда формула для вычисления площади будет иметь вид:
.
В
нашей задаче
.
Следовательно
.
Пределы
интегрирования
и
.
Получим:
(кв. единицы)
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
,
,
и расположенной в первой четверти.
РЕШЕНИЕ:
Кривая
- гипербола, кривая
- парабола с вершиной в начале координат.
- прямая, параллельная оси абсцисс.
Изобразим эти линии:
Искомая
площадь
выразится как разность площадей:
.
Каждая из этих площадей может быть найдена через соответствующий определенный интеграл.
Площадь
- это площадь под линией
на отрезкеDF.
Найдем пределы интегрирования (абсциссы
точек D
и F,
которые совпадают
с абсциссами точек A
и B).
Точка А – точка пересечения прямой и гиперболы:
Точка В – точка пересечения прямой и параболы:
Тогда
(кв. единиц).
Площадь
- это площадь под гиперболой
на отрезкеDE.
Найдем абсциссу точки E,
которая совпадает
с абсциссой точки F.
Точка F – точка пересечения параболы и гиперболы:
Тогда
(кв. единиц)
Площадь
- это площадь под параболой
на отрезкеEF:
(кв. единиц)
Находим искомую площадь:
(кв.
единицы)
Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
,
.
РЕШЕНИЕ:
Линия
представляет собой параболу с вершиной
в точке (-2;0) и ветвями, направленными
вправо.
-
прямая, являющаяся биссектрисой первого
и третьего координатных углов.
Изобразим эти линии:
Вращаемая
фигура – криволинейный треугольник
ОАВ.
Объем тела, полученного от вращения
вокруг оси
криволинейной трапеции, образованной
линиями
находится по формуле:
.
В нашем случае искомый объем выразится через разность:
Найдем эти объемы.
- объем тела,
образованного вращением вокруг оси
абсцисс фигуры, ограниченной сверху
параболой
на отрезкеАС.
Найдем абсциссу точки С,
которая совпадает
с абсциссой точки В:
.
Так
как под знаком интеграла должна стоять
функция, зависящая от х, то из исходной
функции
выражаем
:
.
Тогда
(куб. единиц)
Аналогично
находим объем
.
Это тело образовано вращением вокруг
оси абсцисс фигуры, ограниченной сверху
прямой
на отрезкеOD.
Тогда
(куб. единиц).
Тогда искомый объем будет равен:
(куб.
единиц).
5.
Вычислить объем тела, полученного от
вращения вокруг оси ординат фигуры,
ограниченной линиями:
,
.
РЕШЕНИЕ:
Линия
представляет собой параболу с вершиной
в точке (1;-1) и ветвями, направленными
вверх.
- ось абсцисс.
Изобразим эти линии:
Так как вращение происходит вокруг оси ординат, то формула для вычисления объема принимает вид:
.
Тогда
искомый объем
выразится как разность:
.
Найдем
эти объемы. Для этого найдем уравнения
кривых ОА
и ОВ
в виде
:
.
Решаем
это квадратное уравнение, считая
параметром:
Таким образом,
-
уравнение линии АВ.
-
уравнение линии ОВ.
Тогда
Находим искомый объем:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой
,
прямыми
и осью ординат.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: ветвью гиперболы
,
прямыми
и осью абсцисс.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой
,
прямой
и осями координат.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой
и осью абсцисс.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
,
прямыми
.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой
,
прямой
.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой
,
прямой
.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
,
прямыми
.
Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: гиперболой
и прямыми
.
Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной кривой
и отрезком
оси ординат.
Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: параболой
и прямыми
,
где
.
Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной параболами:
.
Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: кривой
и прямыми
.
Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: кривой
и прямыми
.