Интегрирование заменой переменной и интегрирование по частям
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Для
вычисления данного интеграла сделаем
замену:
.
Тогда
,
.
Исходный интеграл сведется к виду:
Чтобы вычислить полученный интеграл, раскроем в числителе куб разности и почленно разделим числитель на знаменатель. Имеем:
Каждое
из слагаемых под знаком интеграла
представляет собой степенную функцию.
Почленно интегрируем выражение и затем
возвращаемся к исходной переменной
:
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Сделаем
замену:
.
Тогда
.
Видно, что синус, стоящий в подинтегральной
функции, войдет в дифференциал
.
Тогда
.
Следует
отметить, что в данном случае замена
эквивалентна внесению
под
знак дифференциала:
.
Тогда интегрируя, получим тот же самый результат:
.
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Представим подинтегральную функцию в виде:
Теперь можно внести cos x под знак дифференциала, или сделать замену:
Тогда косинус, стоящий в числителе, войдет в дифференциал новой переменной t:
.
Чтобы привести этот интеграл к табличному интегралу вида
,
нужно вынести из знаменателя знак минус:
.
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Данный интеграл можно преобразовать к табличному, если за новую переменную обозначить подкоренное выражение:
5.
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Вносим
множитель
под
знак дифференциала:
.
(Это
эквивалентно замене переменной:
).
Тогда интеграл сведется к табличному
интегралу
Имеем:
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Применим метод интегрирования по частям, который описывается формулой:
Выберем
Тогда
Подставляем в формулу интегрирования по частям:
7.
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Снова интегрируем по частям:
(Последний интеграл взяли с помощью замены переменной).
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Интегрируем по частям:
Полученный
интеграл, в отличие от исходного, содержит
в
первой степени, поэтому видно, что
проинтегрировав его еще раз по частям,
мы в итоге получим интеграл, содержащий
только тригонометрическую функцию:
Отметим, что метод интегрирования по частям удобно применять к интегралам следующих основных типов:
;
;
;
;
;
;
;
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
2.1. Вычислить интегралы, используя замену переменной:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
н)
о)
п)
р)
с)
т)
у)
ф)
х)
2.2. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
н)
о)
Интегрирование рациональных дробей
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Вычислить интеграл
РЕШЕНИЕ:
В
знаменателе дроби квадратный трехчлен:
.
Выделим в знаменателе полный квадрат:
Тогда выражение, стоящее в квадрате, можно обозначить за новую переменную (интеграл при этом сведется к табличному):
Этот
результат можно получить из других
соображений. Поскольку к переменной
под дифференциалом можно без изменения
его значения прибавлять или вычитать
любое число, положим
.
Интеграл при этом сведется к табличному:
Вычислить интеграл:
РЕШЕНИЕ:
.
Снова выделяем в знаменателе полный квадрат и преобразуем выражение под дифференциалом:
Полученный интеграл еще не является табличным. Чтобы привести его к табличному виду, надо вынести из знаменателя знак минус:
Имеем:
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Выделяем в знаменателе полный квадрат и делаем замену:
Полученный интеграл еще не является табличным. Делим числитель почленно на знаменатель и разбиваем исходный интеграл на разность двух интегралов:
Первый
интеграл табличный. Второй интеграл
берется заменой
.
Тогда
.
Эта замена эквивалентна внесению
под знак дифференциала. Имеем:
Вычислить интеграл:
.
РЕШЕНИЕ:
Выделяем в знаменателе полный квадрат и делаем замену:
Снова
разбиваем на два интеграла. Первый
интеграл табличный. Второй берем заменой
.
Тогда
.
Получим:
5.
Вычислить интеграл:
РЕШЕНИЕ:
Для вычисления этого интеграла применим метод неопределенных коэффициентов. Подинтегральную дробь разложим на сумму элементарных дробей:
.
Чтобы
определить коэффициенты
,
приведем дроби в правой части к общему
знаменателю:
Приравняем числители полученной и исходной дробей:
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
,
можно найти искомые коэффициенты.
Поскольку данное равенство справедливо
для любых значенияхх,
то полагая x
равным поочередно значениям, обращающим
в нуль знаменатель( то есть 1, -3 и 4)
последовательно найдем все неопределенные
коэффициенты.
Тогда
подставляем в исходное выражение
:
Слагаемые с коэффициентами А и С обращаются в ноль и остается
Аналогично, если
И в последнем случае
Теперь подставляем найденные коэффициенты в разложение, и исходный интеграл представляем в виде суммы трех интегралов, каждый из которых будет табличным:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Вычислить интегралы с помощью замены переменной:
а)
;б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
3.2. Вычислить интегралы методом неопределенных коэффициентов:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)