Занятие 21-22. Центр линии II порядка. Асимптотические направления. Главные направления. Главные диаметры

Задачи

1. Найти центр линии второго порядка, заданной уравнением:

1). ;

2). ;

3). ; 4)..

2. Используя понятие асимптотических направлений, показать, что линия не эллипс и не гипербола, а криваяне парабола и не эллипс.

3. Написать уравнение диаметра эллипса , проходящего через середину хорды, отсекаемой эллипсом на прямой.

4. Написать уравнение диаметра линии , делящего пополам хорды, параллельные прямой.

5. Написать уравнение диаметра линии , проходящего через точку.

6. Написать уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы , один из которых проходит через точку.

7. Найти главные направления линий:

а) ;

б) ;

в) .

Занятие 23-25. Решение задач элементарной геометрии координатным методом

Задачи

Продемонстрировать суть метода координат при решении задач

1. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до четырех вершин вписанного в нее квадрата равна учетверенной площади этого квадрата.

2. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до четырех вершин описанного около нее квадрата имеет одну и ту же величину.

3. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до трех вершин вписанного в нее равностороннего треугольника имеет одну и ту же величину.

4. Найти и построить геометрическое место точек, для которых сумма квадратов расстояний до двух вершин равностороннего треугольника равна квадрату расстояния до третьей вершины.

5. Найти и построить геометрическое место точек, для которых сумма квадратов расстояний до четырех вершин данного квадрата равна удвоенной площади этого квадрата.

6. Найти и построить геометрическое место центров окружностей, проходящих через данную точку и касающихся данной прямой.

7. Для трех данных точек определить геометрическое место таких точек, что в четырехугольникможно вписать окружность.

8. Найти множество всех точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек равно .

9. Найти множество всех точек плоскости, разность квадратов расстояний от которых до двух заданных точек равна .

10. Определить множество середин всех отрезков, отсекаемых осями прямоугольной системы координат на прямых, проходящих через данную точку .

11. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения боковых сторон трапеции и точку пересечения диагоналей трапеции, делит основания трапеции пополам.

12. Диагонали ромба равны и. Найти расстояние между противоположными сторонами ромба.

13. Доказать, что во всяком четырехугольнике точка пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей.

14. Доказать теорему Эйлера. Во всяком четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов четырех его сторон без учетверенного квадрата расстояния между серединами диагоналей.

15. На прямой , проходящей через центрокружности радиуса, отложены в обе стороны от центра отрезкии, равные диаметру. Доказать, что для любой точкиданной окружности сумма квадратов её расстояний до точекив 5 раз больше площади квадрата, вписанного в окружность.

16. Доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.